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九州大学 2023年文系第1問解説

方針・初手

曲線 $C$ と直線 $l$ は $y$ 軸に関して対称であるため、図形全体の面積や条件 $S_1 = S_2$ を考える際は、$x \geqq 0$ の領域（右半分）のみで計算すると見通しが良くなります。交点の $x$ 座標を求め、それぞれの積分区間における被積分関数の上下関係を正しく把握して定式化することが第一歩です。

解法1

曲線 $C$ の方程式は、$y = |x^2-9|$ である。 $x \geqq 0$ の範囲において、絶対値を外すと以下のようになる。

$$ y = \begin{cases} -x^2+9 & (0 \leqq x \leqq 3) \\ x^2-9 & (x > 3) \end{cases} $$

直線 $l: y=a$ （$0 < a < 9$）と曲線 $C$ の $x \geqq 0$ における交点の $x$ 座標を求める。 $-x^2+9 = a$ より、$x^2 = 9-a$ であるから、$x = \sqrt{9-a}$ （$0 < \sqrt{9-a} < 3$ を満たす） $x^2-9 = a$ より、$x^2 = a+9$ であるから、$x = \sqrt{a+9}$ （$\sqrt{a+9} > 3$ を満たす）

図形の対称性より、$x \geqq 0$ の部分における面積を考え、$S_1$ および $S_2$ の半分をそれぞれ $S_1'$、$S_2'$ とする。（すなわち $S_1 = 2S_1'$, $S_2 = 2S_2'$） $S_1'$ は、$0 \leqq x \leqq \sqrt{9-a}$ において $-x^2+9 \geqq a$ となる領域の面積である。

$$ S_1' = \int_{0}^{\sqrt{9-a}} (-x^2+9-a) dx $$

$$ = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + (9-a)x \right]_{0}^{\sqrt{9-a}} $$

$$ = -\frac{1}{3}(9-a)\sqrt{9-a} + (9-a)\sqrt{9-a} = \frac{2}{3}(9-a)\sqrt{9-a} $$

$S_2'$ は、$\sqrt{9-a} \leqq x \leqq 3$ と $3 \leqq x \leqq \sqrt{a+9}$ の2つの区間の面積の和である。

$$ S_2' = \int_{\sqrt{9-a}}^{3} \{a - (-x^2+9)\} dx + \int_{3}^{\sqrt{a+9}} \{a - (x^2-9)\} dx $$

それぞれの積分を計算する。第1項は、

$$ \int_{\sqrt{9-a}}^{3} (x^2 + a - 9) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + (a-9)x \right]_{\sqrt{9-a}}^{3} $$

$$ = (9 + 3a - 27) - \left\{ \frac{1}{3}(9-a)\sqrt{9-a} - (9-a)\sqrt{9-a} \right\} $$

$$ = 3a - 18 + \frac{2}{3}(9-a)\sqrt{9-a} $$

第2項は、

$$ \int_{3}^{\sqrt{a+9}} (-x^2 + a + 9) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + (a+9)x \right]_{3}^{\sqrt{a+9}} $$

$$ = \left\{ -\frac{1}{3}(a+9)\sqrt{a+9} + (a+9)\sqrt{a+9} \right\} - (-9 + 3a + 27) $$

$$ = \frac{2}{3}(a+9)\sqrt{a+9} - 3a - 18 $$

これらを足し合わせて $S_2'$ を得る。

$$ S_2' = \left( 3a - 18 + \frac{2}{3}(9-a)\sqrt{9-a} \right) + \left( \frac{2}{3}(a+9)\sqrt{a+9} - 3a - 18 \right) $$

$$ = \frac{2}{3}(9-a)\sqrt{9-a} + \frac{2}{3}(a+9)\sqrt{a+9} - 36 $$

条件 $S_1 = S_2$ は $S_1' = S_2'$ と同値であるから、

$$ \frac{2}{3}(9-a)\sqrt{9-a} = \frac{2}{3}(9-a)\sqrt{9-a} + \frac{2}{3}(a+9)\sqrt{a+9} - 36 $$

$$ \frac{2}{3}(a+9)\sqrt{a+9} = 36 $$

$$ (a+9)^{\frac{3}{2}} = 54 $$

両辺を $\frac{2}{3}$ 乗する。

$$ a+9 = 54^{\frac{2}{3}} = (27 \times 2)^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{2}{3}} = 9\sqrt[3]{4} $$

$$ a = 9(\sqrt[3]{4} - 1) $$

ここで、$1 < 4 < 8$ より $1 < \sqrt[3]{4} < 2$ であるから、$0 < \sqrt[3]{4} - 1 < 1$ となり、$0 < a < 9$ を満たす。

解法2

放物線 $y = x^2-9$ と直線 $y=a$ で囲まれる図形の面積を $T$ とする。交点の $x$ 座標は $x^2-9=a$ より $x = \pm\sqrt{a+9}$ であるから、

$$ T = \int_{-\sqrt{a+9}}^{\sqrt{a+9}} \{a - (x^2-9)\} dx = \frac{1}{6}(\sqrt{a+9} - (-\sqrt{a+9}))^3 = \frac{4}{3}(a+9)\sqrt{a+9} $$

この積分 $T$ を、曲線 $C: y = |x^2-9|$ の折れ曲がる点 $x=\pm 3$ を境に3つの区間に分割する。

$$ T = \int_{-\sqrt{a+9}}^{-3} \{a - (x^2-9)\} dx + \int_{-3}^{3} \{a - (x^2-9)\} dx + \int_{3}^{\sqrt{a+9}} \{a - (x^2-9)\} dx $$

ここで、中央の積分について、被積分関数を意図的に変形する。

$$ \int_{-3}^{3} \{a - (x^2-9)\} dx = \int_{-3}^{3} \{a - (-x^2+9) + 2(9-x^2)\} dx $$

$$ = \int_{-3}^{3} \{a - (-x^2+9)\} dx + 2 \int_{-3}^{3} (9-x^2) dx $$

$\int_{-3}^{3} (9-x^2) dx$ は放物線 $y=x^2-9$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積であり、その値は $\frac{1}{6}(3-(-3))^3 = 36$ である。したがって、

$$ \int_{-3}^{3} \{a - (x^2-9)\} dx = \int_{-3}^{3} \{a - (-x^2+9)\} dx + 72 $$

さらに、$\int_{-3}^{3} \{a - (-x^2+9)\} dx$ を、直線 $l$ と曲線 $C$ の交点 $x=\pm\sqrt{9-a}$ で分割する。

$$ = \int_{-3}^{-\sqrt{9-a}} \{a - (-x^2+9)\} dx + \int_{-\sqrt{9-a}}^{\sqrt{9-a}} \{a - (-x^2+9)\} dx + \int_{\sqrt{9-a}}^{3} \{a - (-x^2+9)\} dx $$

この中央の項は、被積分関数の符号が逆になっているため $-S_1$ に等しい。以上の変形を $T$ の最初の式に代入して整理する。

$$ T = \left( \int_{-\sqrt{a+9}}^{-3} \{a - (x^2-9)\} dx + \int_{-3}^{-\sqrt{9-a}} \{a - (-x^2+9)\} dx \right. $$

$$ \left. + \int_{\sqrt{9-a}}^{3} \{a - (-x^2+9)\} dx + \int_{3}^{\sqrt{a+9}} \{a - (x^2-9)\} dx \right) - S_1 + 72 $$

括弧でくくられた4つの積分の和は、まさに曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれる図形のうち $y \leqq a$ の領域にある部分の面積 $S_2$ を表している。ゆえに、

$$ T = S_2 - S_1 + 72 $$

問題の条件より $S_1 = S_2$ であるから、$T = 72$ を得る。

$$ \frac{4}{3}(a+9)\sqrt{a+9} = 72 $$

$$ (a+9)^{\frac{3}{2}} = 54 $$

$$ a+9 = 54^{\frac{2}{3}} = (27 \times 2)^{\frac{2}{3}} = 9\sqrt[3]{4} $$

$$ a = 9(\sqrt[3]{4} - 1) $$

この値は条件 $0 < a < 9$ を満たす。

解説

絶対値を含む関数の定積分は、区間を分けて愚直に計算するのが基本方針（解法1）ですが、項が多くなるため計算ミスを誘発しやすいという難点があります。解法2のように、絶対値を外す前の関数（本問では $y=x^2-9$）と直線が囲む全体の面積 $T$ を基準に考えることで、計算量を大幅に削減できます。数式の変形（特に $\int (9-x^2) dx$ を分離する部分）は、図形的には「折り返された部分の面積の2倍」を調整していることに相当します。面積の足し引きを定積分の性質を用いて厳密に処理する、非常に有効なテクニックです。