東北大学 1983年 文系 第2問 解説

方針・初手

2つの平面 $OPQ$ と $APQ$ は共通に直線 $PQ$ を含む。したがって，それぞれの法線ベクトルを求め，その内積が $0$ になる条件を立てればよい。

解法1

平面 $OPQ$ 内のベクトルとして

$$ \overrightarrow{OP}=(-2t,0,0),\qquad \overrightarrow{OQ}=(t,t+1,t-1) $$

をとる。

よって，平面 $OPQ$ の法線ベクトル $\boldsymbol{n}_1$ は

$$ \boldsymbol{n}_1=\overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OQ} $$

であり，

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{n}_1 &= \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\ -2t & 0 & 0\ t & t+1 & t-1 \end{vmatrix} \ &=(0,,2t(t-1),,-2t(t+1)). \end{aligned} $$

$t\neq 0$ より，これと同方向の

$$ \boldsymbol{n}_1=(0,t-1,-t-1) $$

を法線ベクトルとしてよい。

次に，平面 $APQ$ について

$$ \overrightarrow{AP}=(-2t,-1,1),\qquad \overrightarrow{AQ}=(t,t,t) $$

であるから，その法線ベクトル $\boldsymbol{n}_2$ は

$$ \boldsymbol{n}_2=\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{AQ} $$

であり，

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{n}_2 &= \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\ -2t & -1 & 1\ t & t & t \end{vmatrix} \ &=(-2t,,t+2t^2,,t-2t^2). \end{aligned} $$

$t\neq 0$ より，これと同方向の

$$ \boldsymbol{n}_2=(-2,,1+2t,,1-2t) $$

を法線ベクトルとしてよい。

2平面が垂直であるための条件は，法線ベクトルが直交することである。したがって

$$ \boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2=0 $$

を満たせばよい。

実際に計算すると，

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2 &=(0,t-1,-t-1)\cdot(-2,1+2t,1-2t) \ &=(t-1)(1+2t)+(-t-1)(1-2t) \ &=(2t^2-t-1)+(2t^2+t-1) \ &=4t^2-2. \end{aligned} $$

これが $0$ だから，

$$ 4t^2-2=0 $$

すなわち

$$ t^2=\frac12. $$

よって

$$ t=\pm \frac{1}{\sqrt2} $$

である。

解説

共通な直線 $PQ$ をもつ2平面のなす角は，各平面の法線ベクトルのなす角で判定できる。この問題では外積を用いて法線ベクトルを直接求めるのが最も素直である。

また，途中で法線ベクトルを定数倍して簡単にしているが，法線ベクトルは方向だけ分かれば十分であるから，$t\neq 0$ の条件を使って整理してよい。

答え

$$ t=\pm \frac{1}{\sqrt2} $$