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東北大学 1995年文系第3問解説

方針・初手

求める関数 $f(x)$ は $x^4$ の係数が $1$ である4次式なので、$f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ （$a, b, c, d$ は実数定数）とおくことができます。与えられた条件は $n=0, 1, 2, 3$ に対する定積分がすべて $0$ になることですが、積分区間が $[-1, 1]$ と原点対称であることに着目します。被積分関数を展開したとき、奇数次の項の定積分は $0$ になり、偶数次の項の定積分は $2 \int_0^1$ と簡略化できる性質（偶関数・奇関数の性質）を活用して、係数に関する連立方程式を立てて解くのが基本方針です。

解法1

$f(x)$ は $x^4$ の係数が $1$ の4次式なので、実数 $a, b, c, d$ を用いて次のように表す。

$$ f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d $$

積分区間が $[-1, 1]$ であるから、自然数 $k$ に対して以下の性質が成り立つ。

$$ \int_{-1}^1 x^k dx = \begin{cases} 0 & (k\text{が奇数}) \\ 2 \int_0^1 x^k dx & (k\text{が偶数}) \end{cases} $$

これを用いて、各 $n$ に対する条件式を整理する。

(i) $n=0$ のとき

$$ \int_{-1}^1 (x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d) dx = 0 $$

奇数次の項を消去して整理すると、

$$ 2 \int_0^1 (x^4 + bx^2 + d) dx = 2 \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{b}{3}x^3 + dx \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1}{5} + \frac{b}{3} + d \right) = 0 $$

よって、次式を得る。

$$ \frac{b}{3} + d = -\frac{1}{5} $$

(ii) $n=1$ のとき

$$ \int_{-1}^1 (x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx) dx = 0 $$

同様に計算すると、

$$ 2 \int_0^1 (ax^4 + cx^2) dx = 2 \left[ \frac{a}{5}x^5 + \frac{c}{3}x^3 \right]_0^1 = 2 \left( \frac{a}{5} + \frac{c}{3} \right) = 0 $$

よって、次式を得る。

$$ 3a + 5c = 0 $$

(iii) $n=2$ のとき

$$ \int_{-1}^1 (x^6 + ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2) dx = 0 $$

計算すると、

$$ 2 \int_0^1 (x^6 + bx^4 + dx^2) dx = 2 \left[ \frac{x^7}{7} + \frac{b}{5}x^5 + \frac{d}{3}x^3 \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1}{7} + \frac{b}{5} + \frac{d}{3} \right) = 0 $$

よって、次式を得る。

$$ \frac{b}{5} + \frac{d}{3} = -\frac{1}{7} $$

(iv) $n=3$ のとき

$$ \int_{-1}^1 (x^7 + ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3) dx = 0 $$

計算すると、

$$ 2 \int_0^1 (ax^6 + cx^4) dx = 2 \left[ \frac{a}{7}x^7 + \frac{c}{5}x^5 \right]_0^1 = 2 \left( \frac{a}{7} + \frac{c}{5} \right) = 0 $$

よって、次式を得る。

$$ 5a + 7c = 0 $$

(ii) および (iv) で得られた $a, c$ に関する連立方程式を解くと、

$$ a = 0, \quad c = 0 $$

(i) および (iii) で得られた $b, d$ に関する連立方程式は、分母を払うと以下のようになる。

$$ \begin{cases} 5b + 15d = -3 \\ 3b + 5d = -\frac{15}{7} \end{cases} $$

第2式を3倍して第1式と辺々引くことにより $d$ を消去すると、

$$ (5b + 15d) - (9b + 15d) = -3 - \left( -\frac{45}{7} \right) $$

$$ -4b = \frac{24}{7} $$

これより $b = -\frac{6}{7}$ となる。これを第1式に代入して $d$ を求める。

$$ 15d = -3 - 5 \left( -\frac{6}{7} \right) = -3 + \frac{30}{7} = \frac{9}{7} $$

$$ d = \frac{3}{35} $$

以上より、求める4次式は決定される。

解法2

部分積分を活用して、与えられた性質を満たす関数を直接構成する。

関数 $F(x) = (x^2-1)^4 = (x-1)^4(x+1)^4$ を考える。 $F(x)$ は $x = 1$ および $x = -1$ をそれぞれ4重解として持つため、$k = 0, 1, 2, 3$ に対して以下の性質が成り立つ。

$$ F^{(k)}(1) = 0, \quad F^{(k)}(-1) = 0 $$

ここで、$C$ を実数の定数とし、$f(x) = C F^{(4)}(x)$ とおく。 $F(x)$ は8次式なので、$F^{(4)}(x)$ は4次式である。条件の積分 $\int_{-1}^1 x^n f(x) dx = C \int_{-1}^1 x^n F^{(4)}(x) dx$ について考える。 $n = 0, 1, 2, 3$ に対して、部分積分を繰り返し用いると、

$$ \int_{-1}^1 x^n F^{(4)}(x) dx = \left[ x^n F^{(3)}(x) \right]_{-1}^1 - n \int_{-1}^1 x^{n-1} F^{(3)}(x) dx $$

境界値 $F^{(3)}(\pm 1) = 0$ より第1項は $0$ になるため、

$$ = -n \int_{-1}^1 x^{n-1} F^{(3)}(x) dx $$

この操作を $n$ 回繰り返すと、境界項は常に $F^{(k)}(\pm 1) = 0$ ($k \le 3$) の性質により $0$ となるため、

$$ = (-1)^n n! \int_{-1}^1 F^{(4-n)}(x) dx $$

となる。さらに定積分を実行すると、

$$ = (-1)^n n! \left[ F^{(3-n)}(x) \right]_{-1}^1 = 0 $$

よって、$f(x) = C F^{(4)}(x)$ は与えられた $n=0, 1, 2, 3$ の条件をすべて満たす。

次に $F^{(4)}(x)$ を具体的に計算する。 $F(x) = (x^2-1)^4 = x^8 - 4x^6 + 6x^4 - 4x^2 + 1$ より、

$$ F^{(4)}(x) = \frac{d^4}{dx^4} (x^8 - 4x^6 + 6x^4 - 4x^2 + 1) $$

$$ = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 x^4 - 4 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 x^2 + 6 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 $$

$$ = 1680x^4 - 1440x^2 + 144 $$

したがって、$f(x) = C (1680x^4 - 1440x^2 + 144)$ となる。問題の条件より、$f(x)$ の $x^4$ の係数は $1$ であるから、

$$ 1680C = 1 \iff C = \frac{1}{1680} $$

以上より、求める関数 $f(x)$ は次のように定まる。

$$ f(x) = \frac{1}{1680} (1680x^4 - 1440x^2 + 144) = x^4 - \frac{1440}{1680}x^2 + \frac{144}{1680} = x^4 - \frac{6}{7}x^2 + \frac{3}{35} $$

解説

解法1は、未定係数を設定して愚直に連立方程式を解くオーソドックスな手法です。積分区間が $[-1, 1]$ であることから、偶関数・奇関数の性質を使って積分の計算量と連立方程式の変数を減らす工夫が必須となります。計算ミスに注意すれば確実に完答できるアプローチです。

解法2の背景には、大学数学で登場する「ルジャンドル多項式」と呼ばれる直交多項式の概念が隠れています。区間 $[-1, 1]$ において、ある多項式が自身より低次のすべての多項式と直交する（積の定積分が $0$ になる）とき、その多項式はロドリゲスの公式 $\frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n$ の定数倍で表されるという事実を利用したものです。この背景知識を持っていると、部分積分を逆手にとった鮮やかな解法を自力で構築できます。