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東北大学 1984年文系第3問解説

方針・初手

直線 $AB$ の方向ベクトルはまず $\overrightarrow{AB}$ を求めればよい。

(1) は内積公式 $$ \cos \theta=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{OP}|} $$ を用いる。

(2) は，点 $P$ と直線 $AB$ との距離を $$ \frac{|\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|} $$ で表して条件に代入する。

解法1

まず $$ \overrightarrow{AB}=B-A=(1-(-2),,0-2,,\tfrac12-(-\tfrac12))=(3,-2,1) $$ である。

また $$ \overrightarrow{OP}=(2p,p,3p) $$ である。

(1) ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{OP}$ のなす角

内積は $$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OP} =(3,-2,1)\cdot(2p,p,3p) =6p-2p+3p=7p $$ である。

それぞれの大きさは $$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{14}, $$

$$ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{(2p)^2+p^2+(3p)^2} =\sqrt{14p^2} =\sqrt{14},|p| $$ である。

したがって $$ \cos\theta =\frac{7p}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{14}|p|} =\frac{7p}{14|p|} =\frac{p}{2|p|} $$ となる。

ここで $p\neq 0$ であるから，

(i) $p>0$ のとき $$ \cos\theta=\frac12 $$ より $$ \theta=\frac{\pi}{3} $$

(ii) $p<0$ のとき $$ \cos\theta=-\frac12 $$ より $$ \theta=\frac{2\pi}{3} $$

である。

(2) 点 $P$ から直線 $AB$ への距離

まず $$ \overrightarrow{AP}=P-A=(2p+2,\ p-2,\ 3p+\tfrac12) $$ である。

よって $$ \overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{AB} ============================================= \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\ 2p+2 & p-2 & 3p+\tfrac12\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} ============= \left(7p-1,\ 7p-\tfrac12,\ 2-7p\right) $$ となる。

したがって $$ |\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{AB}|^2 =(7p-1)^2+\left(7p-\tfrac12\right)^2+(2-7p)^2 =147p^2-49p+\frac{21}{4} $$ である。

点 $P$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の長さを $d$ とすると $$ d=\frac{|\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|} $$ であるから，条件より $$ \frac{|\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{AB}|}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{5}}{2} $$ となる。

両辺を2乗して $$ \frac{147p^2-49p+\frac{21}{4}}{14}=\frac54 $$ すなわち $$ 147p^2-49p+\frac{21}{4}=\frac{70}{4} $$ である。

両辺を $4$ 倍すると $$ 588p^2-196p+21=70 $$ より $$ 588p^2-196p-49=0 $$ となる。これを $49$ で割ると $$ 12p^2-4p-1=0 $$ である。

よって $$ p=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{24} =\frac{4\pm 8}{24} $$ より $$ p=\frac12,\ -\frac16 $$ を得る。

解説

この問題では，直線 $AB$ の方向ベクトル $\overrightarrow{AB}$ を最初に出すことが中心になる。

(1) では内積の符号が $p$ の符号で変わるため，角も $p>0$ と $p<0$ で分かれる。この場合分けを落とさないことが重要である。

(2) では空間における「点と直線の距離」の公式 $$ \frac{|\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|} $$ を使うのが典型である。垂線の長さを直接扱いにくいときは，外積を使うと処理しやすい。