東北大学 1984年 文系 第4問 解説

方針・初手

与えられた条件は

$$ x-4\leqq y\leqq (3t^2-1)x+2t^3 $$

がすべての正数 $t$ に対して成り立つというものである。

したがって、$y$ は関数

$$ F(t)= (3t^2-1)x+2t^3=2t^3+3xt^2-x $$

の $t>0$ における最小値以下でなければならない。そこで、$x$ を固定して $F(t)$ の最小値を調べ、それを $x-4\leqq y$ と合わせればよい。

解法1

$F(t)=2t^3+3xt^2-x$ とおくと、

$$ F'(t)=6t^2+6xt=6t(t+x) $$

である。

$t>0$ なので、$F(t)$ の増減は $t+x$ の符号で決まる。

(i) $x\geqq 0$ のとき

このとき $t+x>0$ であるから、$t>0$ において常に

$$ F'(t)>0 $$

となる。よって $F(t)$ は $t>0$ で単調増加であり、

$$ \inf_{t>0}F(t)=\lim_{t\to 0+}F(t)=-x $$

である。

したがって、この場合の条件は

$$ y\leqq -x $$

となる。これを $x-4\leqq y$ と合わせると

$$ x-4\leqq -x $$

すなわち

$$ x\leqq 2 $$

を得る。よって $x\geqq 0$ の範囲では

$$ 0\leqq x\leqq 2,\qquad x-4\leqq y\leqq -x $$

である。

(ii) $x<0$ のとき

このとき $-x>0$ であり、

• $0<t<-x$ では $t+x<0$ より $F'(t)<0$
• $t>-x$ では $t+x>0$ より $F'(t)>0$

となる。したがって $t=-x$ で最小値をとる。

その値は

$$ F(-x)=2(-x)^3+3x(-x)^2-x=x^3-x $$

であるから、

$$ y\leqq x^3-x $$

を得る。これを $x-4\leqq y$ と合わせると

$$ x-4\leqq x^3-x $$

すなわち

$$ x^3-2x+4\geqq 0 $$

である。これを因数分解すると

$$ x^3-2x+4=(x+2)(x^2-2x+2) $$

であり、$x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0$ だから、

$$ x+2\geqq 0 $$

すなわち

$$ x\geqq -2 $$

である。よって $x<0$ の範囲では

$$ -2\leqq x<0,\qquad x-4\leqq y\leqq x^3-x $$

である。

以上より、点 $(x,y)$ の存在範囲 $D$ は

$$ \begin{cases} -2\leqq x\leqq 0,\quad x-4\leqq y\leqq x^3-x,\\ 0\leqq x\leqq 2,\quad x-4\leqq y\leqq -x \end{cases} $$

である。

したがって、$D$ は下側の境界が直線

$$ y=x-4 $$

上側の境界が

• $-2\leqq x\leqq 0$ では曲線 $y=x^3-x$
• $0\leqq x\leqq 2$ では直線 $y=-x$

で囲まれた部分である。

境界の主な交点は

$$ (-2,-6),\quad (0,0),\quad (2,-2) $$

である。

解説

この問題の本質は、「すべての正数 $t$ に対して成り立つ」という条件を、$t$ に関する関数の最小値の問題に言い換えることである。

$F'(t)=6t(t+x)$ となるため、$x$ の符号で増減が変わる。したがって $x\geqq 0$ と $x<0$ に分けるのが自然である。特に $x\geqq 0$ では最小値が $t=0$ ではなく $t\to 0+$ の極限として現れる点に注意が必要である。

答え

$$ \begin{cases} -2\leqq x\leqq 0,\quad x-4\leqq y\leqq x^3-x,\ 0\leqq x\leqq 2,\quad x-4\leqq y\leqq -x \end{cases} $$

したがって、$D$ の面積は

$$ \int_{-2}^{0}\Bigl((x^3-x)-(x-4)\Bigr)\,dx+\int_{0}^{2}\Bigl((-x)-(x-4)\Bigr)\,dx $$

$$ =\int_{-2}^{0}(x^3-2x+4),dx+\int_{0}^{2}(4-2x),dx $$

$$ =\left[\frac{x^4}{4}-x^2+4x\right]_{-2}^{0}+\left[4x-x^2\right]_{0}^{2} =8+4=12 $$

よって、求める面積は

$$ 12 $$

である。