東北大学 1997年 文系 第1問 解説

方針・初手

まず、2次方程式の2解を $\alpha,\beta$ とおく。解の差が $1$ であることから

$$ (\alpha-\beta)^2=1 $$

を用い、解と係数の関係に結びつける。

次に、放物線 $y=x^2+ax+b$ が領域 $2x+y<0$ を通らないとは、グラフ上のすべての点で

$$ 2x+y\geqq 0 $$

が成り立つことを意味する。したがって、ある2次式がすべての実数 $x$ に対して常に $0$ 以上となる条件に帰着して調べればよい。

解法1

2次方程式 $x^2+ax+b=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とする。

解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=-a,\qquad \alpha\beta=b $$

である。

また、解の差が $1$ であるから

$$ (\alpha-\beta)^2=1 $$

である。一方、

$$ (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta $$

であるから、

$$ 1=(-a)^2-4b=a^2-4b $$

となる。よって

$$ b=\frac{a^2-1}{4} $$

を得る。これが （1） の答えである。

次に （2） を考える。

放物線 $y=x^2+ax+b$ が領域 $2x+y<0$ を通らないとは、グラフ上の任意の点 $(x,y)$ に対して

$$ 2x+y\geqq 0 $$

が成り立つことである。

$y=x^2+ax+b$ を代入すると、

$$ x^2+(a+2)x+b\geqq 0 $$

がすべての実数 $x$ に対して成り立てばよい。

ここで （1） の結果 $b=\dfrac{a^2-1}{4}$ を代入すると、

$$ x^2+(a+2)x+\frac{a^2-1}{4}\geqq 0 $$

がすべての実数 $x$ に対して成り立つ条件を求めればよい。

この2次式は $x^2$ の係数が正であるから、すべての実数 $x$ に対して $0$ 以上となるための必要十分条件は判別式が $0$ 以下であることである。判別式を $D$ とすると

$$ \begin{aligned} D&=(a+2)^2-4\cdot \frac{a^2-1}{4} \\ &=a^2+4a+4-(a^2-1) \\ &=4a+5 \end{aligned} $$

したがって

$$ D\leqq 0 $$

より

$$ 4a+5\leqq 0 $$

すなわち

$$ a\leqq -\frac54 $$

である。

解法2

（2） だけ別の見方をする。

放物線が領域 $2x+y<0$ を通らないということは、直線 $y=-2x$ より下にグラフが出ないということである。したがって、放物線

$$ y=x^2+ax+b $$

と直線

$$ y=-2x $$

の位置関係を調べればよい。

両者の差を考えると、

$$ x^2+ax+b-(-2x)=x^2+(a+2)x+b $$

である。これがすべての実数 $x$ で $0$ 以上なら、放物線は直線 $y=-2x$ の下側に入らない。

ここで （1） の結果を用いると

$$ x^2+(a+2)x+\frac{a^2-1}{4} $$

となる。

この2次式の最小値を調べると、軸は

$$ x=-\frac{a+2}{2} $$

であり、最小値は

$$ \frac{a^2-1}{4}-\frac{(a+2)^2}{4} =\frac{a^2-1-(a+2)^2}{4} =\frac{-4a-5}{4} $$

である。

これが $0$ 以上であればよいから

$$ \frac{-4a-5}{4}\geqq 0 $$

すなわち

$$ a\leqq -\frac54 $$

を得る。

解説

この問題の要点は2つである。

まず （1） では、解の差が与えられたときに

$$ (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta $$

を使うのが典型である。和と積はそのまま係数に直せるので、$b$ を $a$ で表せる。

次に （2） では、「領域 $2x+y<0$ を通らない」を、グラフ上で常に $2x+y\geqq 0$ と言い換えるのが核心である。すると「ある2次式がすべての実数で非負」という標準問題になり、判別式か最小値で処理できる。

答え

$$ \text{(1)}\quad b=\frac{a^2-1}{4} $$

$$ \text{(2)}\quad a\leqq -\frac54 $$