東北大学 1997年 文系 第3問 解説

方針・初手

直線と各放物線の共有点を求めると、交点を与える方程式がともに重解をもつ形になる。これにより接することが分かる。

面積は、まずどの区間でどの放物線が下側に来るかを判定し、その下側の放物線と直線との差を積分して求める。

解法1

(1) 直線 $y=x-1$ がそれぞれの2次曲線に接することを示す。

まず、$y=x(x-1)$ と $y=x-1$ の共有点を調べる。

$$ x(x-1)=x-1 $$

より、

$$ x^2-2x+1=0 $$

すなわち、

$$ (x-1)^2=0 $$

となる。したがって、共有点は $x=1$ の1点のみであり、重解をもつから、直線 $y=x-1$ は放物線 $y=x(x-1)$ に接する。接点は

$$ (1,,0) $$

である。

同様に、$y=x^2-3x+3$ と $y=x-1$ の共有点を調べる。

$$ x^2-3x+3=x-1 $$

より、

$$ x^2-4x+4=0 $$

すなわち、

$$ (x-2)^2=0 $$

となる。したがって、共有点は $x=2$ の1点のみであり、重解をもつから、直線 $y=x-1$ は放物線 $y=x^2-3x+3$ に接する。接点は

$$ (2,,1) $$

である。

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(2) 直線 $y=x-1$ と2つの2次曲線で囲まれる部分の面積を求める。

まず、2つの放物線の交点を求める。

$$ x(x-1)=x^2-3x+3 $$

より、

$$ x^2-x=x^2-3x+3 $$

$$ 2x=3 $$

$$ x=\frac32 $$

このとき

$$ y=\frac32\left(\frac32-1\right)=\frac32\cdot\frac12=\frac34 $$

であるから、2つの放物線の交点は

$$ \left(\frac32,,\frac34\right) $$

である。

次に、直線と各放物線の上下関係を調べる。

放物線 $y=x(x-1)$ と直線との差は

$$ x(x-1)-(x-1)=x^2-2x+1=(x-1)^2\geqq 0 $$

であるから、$y=x(x-1)$ は常に直線 $y=x-1$ の上側にある。

また、放物線 $y=x^2-3x+3$ と直線との差は

$$ (x^2-3x+3)-(x-1)=x^2-4x+4=(x-2)^2\geqq 0 $$

であるから、$y=x^2-3x+3$ も常に直線 $y=x-1$ の上側にある。

さらに、2つの放物線の大小関係は

$$ (x^2-3x+3)-x(x-1)=-2x+3 $$

によって分かる。したがって、

• $1\leqq x\leqq \dfrac32$ では $-2x+3\geqq 0$ なので、下側の曲線は $y=x(x-1)$
• $\dfrac32\leqq x\leqq 2$ では $-2x+3\leqq 0$ なので、下側の曲線は $y=x^2-3x+3$

である。

よって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_1^{3/2}{x(x-1)-(x-1)},dx+\int_{3/2}^2{(x^2-3x+3)-(x-1)},dx $$

となる。整理すると

$$ S=\int_1^{3/2}(x-1)^2,dx+\int_{3/2}^2(x-2)^2,dx $$

である。

第1項は

$$ \int_1^{3/2}(x-1)^2,dx =\left[\frac{(x-1)^3}{3}\right]_1^{3/2} =\frac{(1/2)^3}{3} =\frac1{24} $$

第2項は

$$ \int_{3/2}^2(x-2)^2,dx =\left[\frac{(x-2)^3}{3}\right]_{3/2}^2 =0-\frac{(-1/2)^3}{3} =\frac1{24} $$

したがって、

$$ S=\frac1{24}+\frac1{24}=\frac1{12} $$

となる。

解説

この問題の要点は、接することの判定を「交点を与える方程式が重解をもつこと」で処理することである。直線と放物線の問題では最も基本的な見方である。

面積については、いきなり積分するのではなく、どの曲線が境界になるかを先に確定する必要がある。今回は2つの放物線が $x=\dfrac32$ で交わるため、そこで区間を分けるのが本質である。

答え

直線 $y=x-1$ は、

• 放物線 $y=x(x-1)$ に点 $(1,0)$ で接する。
• 放物線 $y=x^2-3x+3$ に点 $(2,1)$ で接する。

また、これらで囲まれる部分の面積は

$$ \frac1{12} $$

である。