東北大学 2008年 文系 第1問 解説

方針・初手

まず

$$ f(x)=x^3+(2a-4)x^2+(a^2-4a+4)x $$

を因数分解する。すると

$$ f(x)=x{x^2+2(a-2)x+(a-2)^2}=x(x+a-2)^2 $$

となる。これにより，方程式 $f(x)=0$ の解の個数も，極値の計算も一気に整理できる。

解法1

(1) $a$ の値の範囲

$$ f(x)=x(x+a-2)^2 $$

より，方程式 $f(x)=0$ の解は

$$ x=0,\quad x=2-a $$

である。ただし $x=2-a$ は重解である。

したがって，異なる実数解がちょうど $2$ 個あるための条件は，この $2$ つの解が一致しないことである。よって

$$ 0\neq 2-a $$

すなわち

$$ a\neq 2 $$

である。

(2) 関数 $y=f(x)$ の極値

$$ f(x)=x(x+a-2)^2 $$

を微分すると

$$ f'(x)=(x+a-2)^2+2x(x+a-2)=(x+a-2)(3x+a-2) $$

となる。したがって，極値を与える $x$ は

$$ x=2-a,\quad x=\frac{2-a}{3} $$

である。

それぞれのときの関数値は

$$ f(2-a)=(2-a)\cdot 0^2=0 $$

および

$$ f\left(\frac{2-a}{3}\right) =\frac{2-a}{3}\left(\frac{2-a}{3}+a-2\right)^2 =\frac{2-a}{3}\left(-\frac{2(2-a)}{3}\right)^2 =\frac{4(2-a)^3}{27} $$

である。

ここで $a\neq 2$ のもとで場合分けする。

(i) $a<2$ のとき

このとき $2-a>0$ であり，

$$ \frac{2-a}{3}<2-a $$

である。$f'(x)$ は上に開く2次式なので，符号は

$$ +\ \to\ -\ \to\ + $$

と変化する。したがって，

• $x=\dfrac{2-a}{3}$ で極大
• $x=2-a$ で極小

となる。

よって

$$ \text{極大値 } \frac{4(2-a)^3}{27},\qquad \text{極小値 } 0 $$

である。

(ii) $a>2$ のとき

このとき $2-a<0$ であり，

$$ 2-a<\frac{2-a}{3} $$

である。同様に $f'(x)$ の符号変化から，

• $x=2-a$ で極大
• $x=\dfrac{2-a}{3}$ で極小

となる。

よって

$$ \text{極大値 } 0,\qquad \text{極小値 } \frac{4(2-a)^3}{27} $$

である。

(3) 極大値を与える点 $(x,f(x))$ の軌跡

極大値を与える $x$ を $X$，そのときの関数値を $Y$ とする。

(i) $a<2$ のとき

極大値は $x=\dfrac{2-a}{3}$ でとるから，

$$ X=\frac{2-a}{3}>0 $$

であり，

$$ Y=f(X)=\frac{4(2-a)^3}{27} $$

である。ここで $2-a=3X$ を代入すると

$$ Y=\frac{4(3X)^3}{27}=4X^3 $$

となる。したがって，この部分の軌跡は

$$ Y=4X^3\quad (X>0) $$

である。

(ii) $a>2$ のとき

極大値は $x=2-a$ でとり，

$$ X=2-a<0,\qquad Y=f(2-a)=0 $$

となる。したがって，この部分の軌跡は

$$ Y=0\quad (X<0) $$

である。

以上より，求める図形は

$$ Y=4X^3\quad (X>0),\qquad Y=0\quad (X<0) $$

で表される。原点 $(0,0)$ は $a=2$ のときに対応するが，これは (1) の範囲に含まれないので除かれる。

解説

この問題の本質は，最初に

$$ f(x)=x(x+a-2)^2 $$

と因数分解できることにある。これにより，方程式の解の個数はすぐに分かり，さらに重解 $x=2-a$ をもつことも明確になる。

また，極値の位置は微分して求めるが，$f'(x)$ も

$$ f'(x)=(x+a-2)(3x+a-2) $$

ときれいに因数分解されるので，臨界点が $x=2-a,\ \dfrac{2-a}{3}$ と簡単に出る。あとは $a<2$ と $a>2$ で大小関係が入れ替わることに注意すればよい。

軌跡は，極大値を与える点だけを追うので，$a<2$ 側では立方曲線の右半分，$a>2$ 側では負の $x$ 軸上の点列になる。

答え

$$ \text{(1)}\quad a\neq 2 $$

$$ \text{(2)}\quad \begin{cases} a<2\ \text{のとき} & \text{極大値 } \dfrac{4(2-a)^3}{27},\ \text{極小値 } 0 [1mm] a>2\ \text{のとき} & \text{極大値 } 0,\ \text{極小値 } \dfrac{4(2-a)^3}{27} \end{cases} $$

$$ \text{(3)}\quad Y=4X^3\ (X>0),\qquad Y=0\ (X<0) $$

ただし原点は含まない。