東北大学 2008年 文系 第2問 解説

方針・初手

条件 (i) は、$f(x)$ が逆数変換 $x \mapsto 1/x$ に対して対称であることを表している。したがって、まず係数に

$$ a=e,\quad b=d $$

という関係が出る。

そこで

$$ f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+bx+a $$

とおく。次に条件 (ii) の $f(1-x)=f(x)$ を展開して係数比較を行い、最後に条件 (iii) の $f(1)=1$ で定数を確定する。

解法1

条件 (i) より、

$$ x^4f\left(\frac{1}{x}\right)=x^4\left(a\frac{1}{x^4}+b\frac{1}{x^3}+c\frac{1}{x^2}+d\frac{1}{x}+e\right) =a+bx+cx^2+dx^3+ex^4 $$

である。

これが

$$ f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e $$

に等しいので、係数比較により

$$ e=a,\quad d=b $$

を得る。よって

$$ f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+bx+a $$

である。

次に条件 (ii) より $f(1-x)=f(x)$ であるから、

$$ f(1-x)=a(1-x)^4+b(1-x)^3+c(1-x)^2+b(1-x)+a $$

を展開する。

$$ \begin{aligned} f(1-x) &=a(x^4-4x^3+6x^2-4x+1) \ &\quad + b(-x^3+3x^2-3x+1) \ &\quad + c(x^2-2x+1) \ &\quad + b(1-x)+a \ &=ax^4+(-4a-b)x^3+(6a+3b+c)x^2+(-4a-4b-2c)x+(2a+2b+c) \end{aligned} $$

これが

$$ f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+bx+a $$

に等しいので、再び係数比較をする。

$x^3$ の係数から

$$ -4a-b=b $$

となり、

$$ b=-2a $$

を得る。

$x$ の係数から

$$ -4a-4b-2c=b $$

すなわち

$$ -4a-5b-2c=0 $$

である。ここに $b=-2a$ を代入すると、

$$ -4a-5(-2a)-2c=0 $$

より

$$ 6a-2c=0 $$

したがって

$$ c=3a $$

となる。

最後に条件 (iii) を用いる。

$$ f(1)=a+b+c+b+a=2a+2b+c $$

であり、$b=-2a,\ c=3a$ を代入すると

$$ f(1)=2a+2(-2a)+3a=a $$

となる。条件 $f(1)=1$ より

$$ a=1 $$

である。

よって

$$ b=-2,\quad c=3,\quad d=b=-2,\quad e=a=1 $$

となる。

解説

条件 (i) から「両端の係数が等しい」「内側の係数も等しい」という対称性を読み取るのが第一歩である。

そのあと条件 (ii) をそのまま展開して係数比較すれば、未知数は一気に絞られる。この問題では、対称性を順に使うと計算が素直になり、無理なく係数が決まる。

答え

$$ a=1,\quad b=-2,\quad c=3,\quad d=-2,\quad e=1 $$

したがって

$$ f(x)=x^4-2x^3+3x^2-2x+1 $$

である。