東北大学 2020年 文系 第1問 解説

方針・初手

各区間で $f(x)$ の符号を調べると、$-2 \le x \le 3$ では常に $f(x) \le 0$ となる。したがって、求める面積 $S(a)$ は

$$ S(a)=-\int_{-2}^{a}(x-a)(x+2),dx-\int_{a}^{3}2(x-a)(x-3),dx $$

で与えられる。

まずこれを計算して $S(a)$ を $a$ の式で表し、その後微分して最大・最小を調べる。

解法1

$-2 \le a \le 3$ であるから、

• $-2 \le x \le a$ では $x-a \le 0,\ x+2 \ge 0$ より $(x-a)(x+2) \le 0$
• $a \le x \le 3$ では $x-a \ge 0,\ x-3 \le 0$ より $2(x-a)(x-3) \le 0$

である。

したがって、グラフ $y=f(x)$ は区間 $[-2,3]$ で $x$ 軸の下側にあり、面積は

$$ S(a)=-\int_{-2}^{a}(x-a)(x+2),dx-\int_{a}^{3}2(x-a)(x-3),dx $$

となる。

まず第1項を計算する。

$$ -\int_{-2}^{a}(x-a)(x+2),dx =\int_{-2}^{a}(a-x)(x+2),dx $$

ここで $t=x+2$ とおくと、$x=-2$ のとき $t=0$、$x=a$ のとき $t=a+2$ であり、

$$ a-x=a-(t-2)=a+2-t $$

だから、

$$ \int_{-2}^{a}(a-x)(x+2),dx =\int_{0}^{a+2}{(a+2)-t}t,dt $$

$$ =\int_{0}^{a+2}\bigl((a+2)t-t^2\bigr),dt $$

$$ =\left[\frac{a+2}{2}t^2-\frac{1}{3}t^3\right]_{0}^{a+2} =\frac{(a+2)^3}{6} $$

次に第2項を計算する。

$$ -\int_{a}^{3}2(x-a)(x-3),dx =\int_{a}^{3}2(x-a)(3-x),dx $$

ここで $u=x-a$ とおくと、$x=a$ のとき $u=0$、$x=3$ のとき $u=3-a$ であり、

$$ 3-x=3-(u+a)=3-a-u $$

だから、

$$ \int_{a}^{3}2(x-a)(3-x),dx =\int_{0}^{3-a}2u{(3-a)-u},du $$

$$ =\int_{0}^{3-a}\bigl(2(3-a)u-2u^2\bigr),du $$

$$ =\left[(3-a)u^2-\frac{2}{3}u^3\right]_{0}^{3-a} =\frac{(3-a)^3}{3} $$

よって、

$$ S(a)=\frac{(a+2)^3}{6}+\frac{(3-a)^3}{3} $$

これが （1） の答えである。

つぎに （2） を調べる。$S(a)$ を微分すると、

$$ S'(a)=\frac{1}{2}(a+2)^2-(3-a)^2 $$

したがって、

$$ S'(a)=0 $$

は

$$ \frac{1}{2}(a+2)^2=(3-a)^2 $$

と同値である。$-2 \le a \le 3$ より $a+2 \ge 0,\ 3-a \ge 0$ なので、両辺の平方根をとって

$$ a+2=\sqrt{2}(3-a) $$

$$ (1+\sqrt{2})a=3\sqrt{2}-2 $$

$$ a=\frac{3\sqrt{2}-2}{1+\sqrt{2}}=8-5\sqrt{2} $$

さらに、

$$ S''(a)=a+2+2(3-a)=8-a $$

であり、$-2 \le a \le 3$ では常に $S''(a)>0$ だから、$S(a)$ は下に凸である。したがって、$a=8-5\sqrt{2}$ のとき最小となる。

最大値は端点で比較すればよい。

$$ S(-2)=\frac{0^3}{6}+\frac{5^3}{3}=\frac{125}{3} $$

$$ S(3)=\frac{5^3}{6}+\frac{0^3}{3}=\frac{125}{6} $$

よって、最大となるのは $a=-2$ のときである。

解説

この問題の要点は、まず各区間で $f(x)$ の符号を正確に確認することである。面積を求めるとき、符号の判定を省くと積分値と面積を取り違えやすい。

また、$S(a)$ は直接展開して微分してもよいが、まず

$$ S(a)=\frac{(a+2)^3}{6}+\frac{(3-a)^3}{3} $$

の形にまとめてから微分すると見通しがよい。さらに $S''(a)>0$ であることから下に凸と分かるため、極値判定も確実にできる。

答え

$$ S(a)=\frac{(a+2)^3}{6}+\frac{(3-a)^3}{3} $$

したがって、

• $S(a)$ が最大となるのは $a=-2$
• $S(a)$ が最小となるのは $a=8-5\sqrt{2}$

である。