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東北大学 1996年文系第4問解説

方針・初手

(1) は、関数 $f(x)$ が $x=a$ で極大値をとるための必要条件 $f'(a)=0$ から $b$ を求め、それが必要十分であることを増減表で確認する。その後、極大値 $f(a)$ を計算する。

(2) は、曲線と直線の交点の $x$ 座標を求め、定積分によって面積を計算する。その面積を $a^2$ と等置して $a$ についての方程式を解く。

解法1

(1)

$f(x) = x^3 - 6ax^2 + bx + 1$ を微分すると、

$$ f'(x) = 3x^2 - 12ax + b $$

$f(x)$ は $x=a$ において極大値をとるため、$f'(a) = 0$ が必要である。

$$ f'(a) = 3a^2 - 12a^2 + b = -9a^2 + b = 0 $$

よって、

$$ b = 9a^2 $$

このとき、

$$ f'(x) = 3x^2 - 12ax + 9a^2 = 3(x^2 - 4ax + 3a^2) = 3(x-a)(x-3a) $$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = a, 3a$ となる。

$a > 0$ であるから $a < 3a$ であり、$f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$\cdots$	$a$	$\cdots$	$3a$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$f(x)$ は $x=a$ で極大値をとるため、条件を満たしている。

このときの極大値 $f(a)$ は、

$$ f(a) = a^3 - 6a^3 + 9a^3 + 1 = 4a^3 + 1 $$

(2)

曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=f(a)$ の交点の $x$ 座標を求める。

$$ x^3 - 6ax^2 + 9a^2x + 1 = 4a^3 + 1 $$

$$ x^3 - 6ax^2 + 9a^2x - 4a^3 = 0 $$

$x=a$ で極大値 $f(a)$ をとることから、直線 $y=f(a)$ と曲線 $y=f(x)$ は $x=a$ で接するため、左辺は $(x-a)^2$ を因数にもつ。

$$ (x-a)^2(x-4a) = 0 $$

よって、交点の $x$ 座標は $x = a, 4a$ である。

$a > 0$ より $a < 4a$ であり、区間 $a \leqq x \leqq 4a$ において $f(a) \geqq f(x)$ であるから、求める面積 $S$ は、

$$ S = \int_{a}^{4a} \{ f(a) - f(x) \} dx $$

$$ S = \int_{a}^{4a} -(x-a)^2(x-4a) dx $$

ここで、被積分関数を変形して積分する。

$$ \begin{aligned} S &= \int_{a}^{4a} -(x-a)^2 \{ (x-a) - 3a \} dx \\ &= \int_{a}^{4a} \{ -(x-a)^3 + 3a(x-a)^2 \} dx \\ &= \left[ -\frac{1}{4}(x-a)^4 + a(x-a)^3 \right]_{a}^{4a} \\ &= -\frac{1}{4}(3a)^4 + a(3a)^3 \\ &= -\frac{81}{4}a^4 + 27a^4 \\ &= \frac{27}{4}a^4 \end{aligned} $$

この面積が $a^2$ に等しいので、

$$ \frac{27}{4}a^4 = a^2 $$

$a > 0$ より $a^2 > 0$ であるから、両辺を $a^2$ で割って整理すると、

$$ a^2 = \frac{4}{27} $$

$a > 0$ より、

$$ a = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9} $$

解説

極値をとる条件について、$f'(a)=0$ は必要条件にすぎないため、増減表などで極大値をとることの十分性の確認を行う必要がある。
(2) の定積分の計算において、$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 (x-\beta) dx = -\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4$ の公式（いわゆる $\frac{1}{12}$ 公式）を知っていれば計算を短縮できるが、解答のように $(x-\alpha)$ の塊を作って展開する方法も汎用性が高く確実である。
曲線 $y=f(x)$ と極値を通る水平な直線の交点において、極値をもつ $x$ 座標と接点の $x$ 座標の関係を利用した $2:1$ の比率（3次関数の性質）を用いることでも、$x=4a$ を素早く見つけることができる。