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東北大学 1997年理系第6問解説

方針・初手

極値と概形は導関数 $f'(x)$ の符号を調べればよい。

また、$f(x)=x^3\sqrt{1-x^2}$ は奇関数であるから、面積は $x\geqq 0$ の部分を求めて $2$ 倍すればよい。

解法1

まず

$$ f(x)=x^3\sqrt{1-x^2}\qquad (|x|\leqq 1) $$

である。

極値と単調性

$|x|<1$ で微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &=3x^2\sqrt{1-x^2}+x^3\cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \ &=\frac{3x^2(1-x^2)-x^4}{\sqrt{1-x^2}} \ &=\frac{x^2(3-4x^2)}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned} $$

となる。

ここで $|x|<1$ では $\sqrt{1-x^2}>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は

$$ x^2(3-4x^2) $$

の符号で決まる。

したがって、

$|x|<\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ では $f'(x)\geqq 0$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}<|x|<1$ では $f'(x)<0$

である。

よって、$f(x)$ は

$(-1,-\dfrac{\sqrt{3}}{2})$ で減少
$(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2})$ で増加
$(\dfrac{\sqrt{3}}{2},1)$ で減少

する。

したがって極小値は $x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、極大値は $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ でとる。

値を計算すると、

$$ \begin{aligned} f!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) &=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3\sqrt{1-\frac{3}{4}} \ &=\frac{3\sqrt{3}}{8}\cdot \frac{1}{2} \ &=\frac{3\sqrt{3}}{16} \end{aligned} $$

であるから、

$$ f!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3\sqrt{3}}{16} $$

である。

以上より、

$$ \text{最大値}=\frac{3\sqrt{3}}{16},\qquad \text{最小値}=-\frac{3\sqrt{3}}{16} $$

となる。

グラフの概形

$f(x)$ は奇関数であるから、原点対称のグラフである。

また、

$$ f(-1)=0,\qquad f(0)=0,\qquad f(1)=0 $$

であり、先ほどの単調性から、

$(-1,0)$ の間ではいったん減少して極小値 $-\dfrac{3\sqrt{3}}{16}$ をとる
その後増加して原点 $(0,0)$ を通る
さらに増加して極大値 $\dfrac{3\sqrt{3}}{16}$ をとる
最後は減少して $(1,0)$ に至る

という形になる。

なお、$x=0$ では $f'(0)=0$ であり、原点で接線は $x$ 軸に平行である。

面積

$f(x)$ は奇関数であり、$0<x<1$ では $f(x)>0$ であるから、求める面積 $S$ は

$$ S=2\int_0^1 x^3\sqrt{1-x^2},dx $$

である。

ここで

$$ u=1-x^2 $$

とおくと、

$$ du=-2x,dx,\qquad x^2=1-u $$

であるから、

$$ x^3,dx=x^2\cdot x,dx=(1-u)\left(-\frac{1}{2}du\right) $$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 x^3\sqrt{1-x^2},dx &=\frac{1}{2}\int_0^1 (1-u)u^{1/2},du \ &=\frac{1}{2}\left(\int_0^1 u^{1/2},du-\int_0^1 u^{3/2},du\right) \ &=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{5}\right) \ &=\frac{2}{15} \end{aligned} $$

したがって、

$$ S=2\cdot \frac{2}{15}=\frac{4}{15} $$

である。