東北大学 2025年 文系 第4問 解説

方針・初手

2曲線の交点の $x$ 座標を $0,\alpha,\beta$ とおくと、囲まれた2つの部分は $[0,\alpha]$ と $[\alpha,\beta]$ に現れる。

このとき、左側では $y=x(x-2)^2$ が上、右側では $y=kx^2$ が上になるので、2つの面積が等しいという条件は、差をとった関数の符号付き面積が $0$ になること、すなわち $0$ から $\beta$ まで積分した値が $0$ になることと同値である。

交点の和と積を使うと、根を公式で求めずに $k$ を決められる。

解法1

2曲線の差を

$$ f(x)=x(x-2)^2-kx^2 $$

とおく。

交点は

$$ x(x-2)^2=kx^2 $$

より

$$ x{x^2-(k+4)x+4}=0 $$

を満たす。ここで、二次方程式

$$ x^2-(k+4)x+4=0 $$

の2つの解を $\alpha,\beta$ とし、$\alpha<\beta$ とおく。

積は $4>0$、和は $k+4>0$ であるから $\alpha,\beta$ はともに正である。また、この二次式に $x=2$ を代入すると

$$ 2^2-(k+4)\cdot 2+4=-2k<0 $$

となるので、$2$ は2つの根の間にある。したがって

$$ 0<\alpha<2<\beta $$

である。

よって

$$ f(x)=x(x-\alpha)(x-\beta) $$

の符号より、$0<x<\alpha$ では $f(x)>0$、$\alpha<x<\beta$ では $f(x)<0$ である。したがって、左側の部分では $y=x(x-2)^2$ が上、右側の部分では $y=kx^2$ が上になる。

2つの部分の面積が等しい条件は

$$ \int_0^\alpha f(x),dx=\int_\alpha^\beta -f(x),dx $$

であり、これは

$$ \int_0^\beta f(x),dx=0 $$

と同値である。

ここで

$$ f(x)=x^3-(\alpha+\beta)x^2+\alpha\beta x $$

だから、

$$ \int_0^\beta f(x),dx =\frac{\beta^4}{4}-\frac{\alpha+\beta}{3}\beta^3+\frac{\alpha\beta}{2}\beta^2 $$

となる。

一方、交点を与える二次方程式について、解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=k+4,\qquad \alpha\beta=4 $$

である。特に $\alpha\beta=4$ より

$$ \alpha=\frac{4}{\beta} $$

であるから、

$$ \frac{\beta^4}{4}-\frac{\alpha+\beta}{3}\beta^3+\frac{\alpha\beta}{2}\beta^2 ============================================================================ \frac{\beta^4}{4}-\frac{\left(\frac{4}{\beta}+\beta\right)\beta^3}{3}+2\beta^2 $$

すなわち

$$ \frac{\beta^4}{4}-\frac{\beta^4+4\beta^2}{3}+2\beta^2=0 $$

となる。整理すると

$$ \beta^2\left(\frac{\beta^2}{4}-\frac{\beta^2+4}{3}+2\right)=0 $$

であり、$\beta>0$ なので

$$ \frac{\beta^2}{4}-\frac{\beta^2+4}{3}+2=0 $$

である。これを整理すると

$$ 3\beta^2-4(\beta^2+4)+24=0 $$

より

$$ \beta^2=8 $$

したがって

$$ \beta=2\sqrt2 $$

である。

さらに $\alpha\beta=4$ から

$$ \alpha=\frac{4}{2\sqrt2}=\sqrt2 $$

となるので、

$$ k+4=\alpha+\beta=\sqrt2+2\sqrt2=3\sqrt2 $$

より

$$ k=3\sqrt2-4 $$

を得る。

解説

この問題の要点は、面積が等しいという条件を

$$ \int_0^\beta \bigl(x(x-2)^2-kx^2\bigr),dx=0 $$

という符号付き面積の条件に言い換えることである。

交点をそのまま根 $\alpha,\beta$ とおき、$\alpha+\beta,\alpha\beta$ を使うと、根の公式を使わずに計算を進められる。特に $\alpha\beta=4$ が効いており、$\alpha=4/\beta$ とできるため、未知数を $\beta$ 1つに落とせるのが決め手である。

答え

$$ k=3\sqrt2-4 $$