トップ› 東北大学› 1963年› 理系第6問

東北大学 1963年理系第6問解説

方針・初手

2つの領域をそれぞれ不等式で表現し、共通部分を図示して上下関係と積分区間を特定する。共通部分の境界線がどの曲線になるかを正しく見極めるため、各曲線の交点の $x$ 座標を求める。後半の極限計算では、$0/0$ の不定形となるため、分子の無理式を有理化する変形を用いて極限値を求める。

解法1

(1)

$y=\sin x$, $y=a\sin x$ と直線 $x=\frac{\pi}{2}$ で囲まれる領域を $D_1$ とする。これらの曲線は原点で交わるため、$D_1$ は $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において $\sin x \leqq y \leqq a\sin x$ を満たす領域である。

$y=\cos x$, $y=a\cos x$ と $y$ 軸（直線 $x=0$）で囲まれる領域を $D_2$ とする。これらの曲線は $x=\frac{\pi}{2}$ で交わるため、$D_2$ は $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において $\cos x \leqq y \leqq a\cos x$ を満たす領域である。

求める面積 $S(a)$ は $D_1 \cap D_2$ の面積である。この共通部分は、

$$ \max(\sin x, \cos x) \leqq y \leqq \min(a\sin x, a\cos x) $$

を満たす領域となる。

各境界線の交点の $x$ 座標を調べる。 $y=a\sin x$ と $y=\cos x$ の交点の $x$ 座標を $\alpha$ とすると、$a\sin\alpha = \cos\alpha$ より、

$$ \tan\alpha = \frac{1}{a} $$

$y=\sin x$ と $y=a\cos x$ の交点の $x$ 座標を $\beta$ とすると、$\sin\beta = a\cos\beta$ より、

$$ \tan\beta = a $$

また、$y=\sin x$ と $y=\cos x$ の交点、$y=a\sin x$ と $y=a\cos x$ の交点の $x$ 座標はともに $x = \frac{\pi}{4}$ である。

$a>1$ であるから $\frac{1}{a} < 1 < a$ であり、これより、

$$ 0 < \alpha < \frac{\pi}{4} < \beta < \frac{\pi}{2} $$

であることがわかる。

積分区間 $\alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$ においては、$\cos x > \sin x$ および $a\sin x < a\cos x$ であるため、領域の上下関係は、

$$ \cos x \leqq y \leqq a\sin x $$

となる。

積分区間 $\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \beta$ においては、$\sin x > \cos x$ および $a\cos x < a\sin x$ であるため、領域の上下関係は、

$$ \sin x \leqq y \leqq a\cos x $$

となる。

したがって、共通部分の面積 $S(a)$ は次のように立式できる。

$$ S(a) = \int_{\alpha}^{\frac{\pi}{4}} (a\sin x - \cos x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\beta} (a\cos x - \sin x) dx $$

それぞれの定積分を計算する。

$$ \int_{\alpha}^{\frac{\pi}{4}} (a\sin x - \cos x) dx = [-a\cos x - \sin x]_{\alpha}^{\frac{\pi}{4}} = \left( -a\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - (-a\cos\alpha - \sin\alpha) = -\frac{a+1}{\sqrt{2}} + a\cos\alpha + \sin\alpha $$

$$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\beta} (a\cos x - \sin x) dx = [a\sin x + \cos x]_{\frac{\pi}{4}}^{\beta} = (a\sin\beta + \cos\beta) - \left( a\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = a\sin\beta + \cos\beta - \frac{a+1}{\sqrt{2}} $$

ここで、$\tan\alpha = \frac{1}{a}$, $\tan\beta = a$ であり、$\alpha, \beta$ は鋭角であるから、直角三角形を考えることで三角比の値は次のように求まる。

$$ \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}, \quad \cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+1}} $$

$$ \sin\beta = \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}, \quad \cos\beta = \frac{1}{\sqrt{a^2+1}} $$

これらを代入して計算する。

$$ a\cos\alpha + \sin\alpha = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{a^2+1}} = \sqrt{a^2+1} $$

$$ a\sin\beta + \cos\beta = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{a^2+1}} = \sqrt{a^2+1} $$

よって、$S(a)$ は以下のように求まる。

$$ S(a) = \left( \sqrt{a^2+1} - \frac{a+1}{\sqrt{2}} \right) + \left( \sqrt{a^2+1} - \frac{a+1}{\sqrt{2}} \right) = 2\sqrt{a^2+1} - \sqrt{2}(a+1) $$

(2)

求める極限は、

$$ \lim_{a \to 1+0} \frac{S(a)}{(a-1)^2} = \lim_{a \to 1+0} \frac{2\sqrt{a^2+1} - \sqrt{2}(a+1)}{(a-1)^2} $$

である。分子を有理化するように式変形を行う。

$$ (2\sqrt{a^2+1})^2 - (\sqrt{2}(a+1))^2 = 4(a^2+1) - 2(a^2+2a+1) = 2a^2 - 4a + 2 = 2(a-1)^2 $$

これより、極限の式は次のように変形できる。

$$ \frac{2\sqrt{a^2+1} - \sqrt{2}(a+1)}{(a-1)^2} = \frac{2(a-1)^2}{(a-1)^2 \left( 2\sqrt{a^2+1} + \sqrt{2}(a+1) \right)} = \frac{2}{2\sqrt{a^2+1} + \sqrt{2}(a+1)} $$

$a \to 1$ のとき、分母は $2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ に収束する。したがって、極限値は次のように求まる。

$$ \lim_{a \to 1+0} \frac{2}{2\sqrt{a^2+1} + \sqrt{2}(a+1)} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $$

解説

面積を求める領域の形を正しく把握できるかが勝負である。領域の境界がどの関数で構成されているかを明らかにするために、各曲線の交点を漏れなく求める必要がある。積分区間が $x = \frac{\pi}{4}$ を境に切り替わることを見落とさないように立式する。後半の極限の計算では、そのまま代入すると $0/0$ の不定形が現れる。分子の無理式を有理化する変形によって、因数 $(a-1)^2$ がきれいに約分できる典型的な処理である。