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東北大学 1970年理系第3問解説

方針・初手

$A$ は長さ $4h^3$ のごく短い区間での積分であるから、まず $A$ の大きさは $h^3$ 程度になると見込める。

一方、$B$ は対称差分 $f(h)-2f(0)+f(-h)$ に $h^2$ を掛けた形であり、こちらは $h^4$ 程度になることが多い。したがって

$$ \frac{A}{B} $$

は $1/h$ 程度で発散する可能性が高い。各関数について、式を具体的に変形して確かめる。

解法1

（1） $f(x)=\cos x$ の場合

まず

$$ A=\int_{-2h^3}^{2h^3}\cos x\,dx =\sin x\Big|_{-2h^3}^{2h^3} =\sin(2h^3)-\sin(-2h^3) =2\sin(2h^3) $$

である。

また

$$ B=h^2\{\cos h-2\cos 0+\cos(-h)\} =h^2(\cos h-2+\cos h) =2h^2(\cos h-1) $$

であるから、

$$ \frac{A}{B} =\frac{2\sin(2h^3)}{2h^2(\cos h-1)} =\frac{\sin(2h^3)}{h^2(\cos h-1)}. $$

ここで

$$ \sin(2h^3)\sim 2h^3,\qquad \cos h-1\sim -\frac{h^2}{2}\qquad (h\to0) $$

より、

$$ \frac{A}{B} \sim \frac{2h^3}{h^2\left(-\frac{h^2}{2}\right)} =-\frac{4}{h}. $$

したがって

$$ h\to0^+ \text{ で } \frac{A}{B}\to -\infty,\qquad h\to0^- \text{ で } \frac{A}{B}\to +\infty $$

となるので、二方向からの極限は一致しない。

ゆえに

$$ \lim_{h\to0}\frac{A}{B} $$

は存在しない。

（2） $f(x)=e^x$ の場合

まず

$$ A=\int_{-2h^3}^{2h^3}e^x\,dx =e^x\Big|_{-2h^3}^{2h^3} =e^{2h^3}-e^{-2h^3} $$

である。

また

$$ B=h^2\{e^h-2e^0+e^{-h}\} =h^2(e^h-2+e^{-h}) $$

であるから、

$$ \frac{A}{B} =\frac{e^{2h^3}-e^{-2h^3}}{h^2(e^h-2+e^{-h})}. $$

ここで

$$ e^{2h^3}-e^{-2h^3}=2\sinh(2h^3),\qquad e^h-2+e^{-h}=2(\cosh h-1) $$

と書けるので、

$$ \frac{A}{B} =\frac{2\sinh(2h^3)}{2h^2(\cosh h-1)} =\frac{\sinh(2h^3)}{h^2(\cosh h-1)}. $$

さらに

$$ \sinh(2h^3)\sim 2h^3,\qquad \cosh h-1\sim \frac{h^2}{2}\qquad (h\to0) $$

より、

$$ \frac{A}{B} \sim \frac{2h^3}{h^2\left(\frac{h^2}{2}\right)} =\frac{4}{h}. $$

したがって

$$ h\to0^+ \text{ で } \frac{A}{B}\to +\infty,\qquad h\to0^- \text{ で } \frac{A}{B}\to -\infty $$

となるので、やはり二方向からの極限は一致しない。

ゆえに

$$ \lim_{h\to0}\frac{A}{B} $$

は存在しない。

解説

この問題では、$A$ と $B$ の「$h$ に関する次数」を見抜くことが重要である。

$A$ は積分区間の長さが $4h^3$ であるため、被積分関数が $x=0$ で $0$ でないなら $h^3$ 程度になる。一方、$f(h)-2f(0)+f(-h)$ は中心差分であり、通常は $h^2$ 程度なので、さらに前の $h^2$ を掛けた $B$ は $h^4$ 程度になる。

したがって比 $A/B$ は $1/h$ 程度となり、有限値には収束しにくい。実際にそれぞれ $\sin t\sim t$、$\cos h-1\sim -h^2/2$、$\sinh t\sim t$、$\cosh h-1\sim h^2/2$ を使うと、一方向では $\pm\infty$ に発散し、両側極限は存在しないことが分かる。