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大阪大学 1976年理系第4問解説

方針・初手

全体の回転体の体積を求めたうえで、立体の分割条件から $a_n$ が満たすべき方程式を立てる。求めたい極限の式に $n$ が含まれているため、得られた方程式から $n$ を $a_n$ の式に置き換え、$n \to \infty$ の極限を $a_n \to \frac{\pi}{2}$ の極限に帰着させるのが有効なアプローチである。

解法1

$x$ 軸のまわりに回転させてできる立体の全体の体積を $V$ とすると、

$$ V = \int_{0}^{\pi} \pi \sin^2 x \, dx = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \pi \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi^2}{2} $$

この立体を $x$ 軸に垂直な $2n-1$ 個の平面で体積が等しくなるように $2n$ 個に分割するので、分割された1つの部分の体積は

$$ \frac{V}{2n} = \frac{\pi^2}{4n} $$

である。分割する平面と $x$ 軸の交点の $x$ 座標を小さい順に $x_1, x_2, \dots, x_{2n-1}$ とする。区間 $0 \leqq x \leqq x_k$ からできる回転体の体積は $\frac{k}{2n}V$ である。

ここで、関数 $y = \sin x$ および全体の立体は $x = \frac{\pi}{2}$ に関して対称であるから、中央の分割面 $x_n$ における体積は $\frac{n}{2n}V = \frac{1}{2}V$ となり、$x_n = \frac{\pi}{2}$ である。

$\frac{\pi}{2}$ より小さく、$\frac{\pi}{2}$ に一番近い平面の $x$ 座標 $a_n$ は $x_{n-1}$ に該当する。したがって、区間 $a_n \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の部分からできる回転体の体積は1つの部分の体積 $\frac{\pi^2}{4n}$ に等しい。すなわち、

$$ \int_{a_n}^{\frac{\pi}{2}} \pi \sin^2 x \, dx = \frac{\pi^2}{4n} $$

が成り立つ。これを $n$ について解くと、

$$ n = \frac{\pi^2}{4 \int_{a_n}^{\frac{\pi}{2}} \pi \sin^2 x \, dx} $$

となる。これを用いて求める極限の式を変形する。$n \to \infty$ のとき $a_n \to \frac{\pi}{2}$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{\pi}{2} - a_n \right) = \lim_{a_n \to \frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2 \left( \frac{\pi}{2} - a_n \right)}{4 \int_{a_n}^{\frac{\pi}{2}} \pi \sin^2 x \, dx} = \lim_{a_n \to \frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2}{4} \cdot \frac{1}{\frac{\int_{a_n}^{\frac{\pi}{2}} \pi \sin^2 x \, dx}{\frac{\pi}{2} - a_n}} $$

ここで、微分の定義より、関数 $F(x) = \int_{0}^{x} \pi \sin^2 t \, dt$ に対して $F'(x) = \pi \sin^2 x$ であるから、

$$ \lim_{a_n \to \frac{\pi}{2}} \frac{\int_{a_n}^{\frac{\pi}{2}} \pi \sin^2 x \, dx}{\frac{\pi}{2} - a_n} = \lim_{a_n \to \frac{\pi}{2}} \frac{F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(a_n)}{\frac{\pi}{2} - a_n} = F'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \pi \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} \right) = \pi $$

以上より、求める極限は、

$$ \frac{\pi^2}{4} \cdot \frac{1}{\pi} = \frac{\pi}{4} $$

解法2

解法1と同様に、$a_n$ は区間 $a_n \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ における回転体の体積が $\frac{\pi^2}{4n}$ となる実数である。定積分を直接計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_{a_n}^{\frac{\pi}{2}} \pi \sin^2 x \, dx &= \pi \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{a_n}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \pi \left( \frac{\pi}{4} - \frac{a_n}{2} + \frac{\sin 2a_n}{4} \right) \\ &= \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{2} - a_n \right) + \frac{\pi}{4} \sin 2a_n \end{aligned} $$

これが $\frac{\pi^2}{4n}$ に等しいので、

$$ \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{2} - a_n \right) + \frac{\pi}{4} \sin 2a_n = \frac{\pi^2}{4n} $$

ここで、$h_n = \frac{\pi}{2} - a_n$ とおくと、$a_n = \frac{\pi}{2} - h_n$ であり、$n \to \infty$ のとき $h_n \to +0$ である。 $\sin 2a_n = \sin (\pi - 2h_n) = \sin 2h_n$ であるから、方程式は

$$ \frac{\pi}{2} h_n + \frac{\pi}{4} \sin 2h_n = \frac{\pi^2}{4n} $$

となる。両辺に $\frac{4}{\pi}$ を掛けると、

$$ 2h_n + \sin 2h_n = \frac{\pi}{n} $$

これを $n$ について解き、求める極限の式 $n \left( \frac{\pi}{2} - a_n \right) = n h_n$ に代入する。

$$ n h_n = \frac{\pi}{2h_n + \sin 2h_n} \cdot h_n = \frac{\pi}{2 + \frac{\sin 2h_n}{h_n}} $$

$h_n \to +0$ のとき、$\lim_{h_n \to 0} \frac{\sin 2h_n}{h_n} = 2$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{\pi}{2} - a_n \right) = \lim_{h_n \to 0} \frac{\pi}{2 + \frac{\sin 2h_n}{h_n}} = \frac{\pi}{2 + 2} = \frac{\pi}{4} $$

解説

無限等分された微小な体積から極限を求める典型問題である。立式した後に $n$ を消去して極限計算に持ち込むのがセオリーであるが、その際の処理として2つの有力なアプローチがある。解法1のように積分系を残したまま微分の定義として解釈する方法は、煩雑な三角関数の計算を回避できるためエレガントで計算ミスも少なくなる。解法2のように具体的に定積分を計算し、$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ の公式に帰着させる方法は、発想として自然で確実性が高い方法である。