東北大学 1963年 理系 第5問 解説

方針・初手

求める面積の和を数式で表現する。「長方形の外側にある半円の部分」と「半円の外側にある長方形の部分」の面積の和は、半円の面積と長方形の面積の和から、両者の共通部分の面積の2倍を引いたものに等しいと捉える。辺 $AD$ の長さ、あるいはそれを決定する中心角を変数に設定し、面積の和を関数として表して微分により最小値を求める。

解法1

辺 $AB$ の中点を原点 $O$ とし、直線 $AB$ を $x$ 軸にとる。

半円の方程式は $x^2 + y^2 = a^2$ ($y \ge 0$) となる。

辺 $AD$ の長さを $h$ ($h > 0$) とすると、長方形 $ABCD$ の頂点は $A(-a, 0), B(a, 0), C(a, h), D(-a, h)$ と表せる。

問題の条件「辺 $CD$ は半円と交わっている」より、$0 < h < a$ である。

辺 $CD$ と半円の交点のうち、第1象限にあるものを $Q$ とする。

線分 $OQ$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とおくと、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ であり、$Q$ の座標は $(a \cos\theta, a \sin\theta)$ となる。

このとき、辺 $AD$ の長さ $h$ は $h = a \sin\theta$ と表せる。

半円の面積を $U$、長方形 $ABCD$ の面積を $R$、半円と長方形の共通部分の面積を $C$ とおく。

求める面積の和 $S$ は

$$S = (U - C) + (R - C) = U + R - 2C$$

である。

半円の面積 $U$ は

$$U = \frac{1}{2} \pi a^2$$

長方形の面積 $R$ は

$$R = 2a \times h = 2a^2 \sin\theta$$

共通部分の面積 $C$ は、長方形領域のうち $-a \cos\theta \le x \le a \cos\theta$ の部分（中央の長方形）と、その外側の半円領域の和である。

外側の領域の面積は、中心角 $\theta$ の扇形の面積から、底辺 $a \cos\theta$、高さ $a \sin\theta$ の直角三角形の面積を引いたもの2つ分に等しい。

したがって、$C$ は

$$C = (2a \cos\theta)(a \sin\theta) + 2 \left( \frac{1}{2} a^2 \theta - \frac{1}{2} (a \cos\theta)(a \sin\theta) \right)$$

$$= 2a^2 \sin\theta \cos\theta + a^2 \theta - a^2 \sin\theta \cos\theta$$

$$= a^2 (\theta + \sin\theta \cos\theta)$$

$$= a^2 \left( \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right)$$

となる。

これらを $S$ の式に代入すると、

$$S(\theta) = \frac{1}{2} \pi a^2 + 2a^2 \sin\theta - 2a^2 \left( \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right)$$

$$= a^2 \left( \frac{\pi}{2} + 2\sin\theta - 2\theta - \sin 2\theta \right)$$

$S(\theta)$ を $\theta$ で微分すると

$$S'(\theta) = a^2 ( 2\cos\theta - 2 - 2\cos 2\theta )$$

2倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ を用いて変形する。

$$S'(\theta) = 2a^2 \left( \cos\theta - 1 - (2\cos^2\theta - 1) \right)$$

$$= 2a^2 ( \cos\theta - 2\cos^2\theta )$$

$$= 2a^2 \cos\theta (1 - 2\cos\theta)$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ において $S'(\theta) = 0$ となるのは、$1 - 2\cos\theta = 0$ より $\cos\theta = \frac{1}{2}$、すなわち $\theta = \frac{\pi}{3}$ のときである。

$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ のとき、$\cos\theta > \frac{1}{2}$ より $S'(\theta) < 0$ となる。

$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos\theta < \frac{1}{2}$ より $S'(\theta) > 0$ となる。

したがって、$S(\theta)$ は $\theta = \frac{\pi}{3}$ で極小かつ最小となる。

このときの辺 $AD$ の長さは

$$AD = h = a \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

解法2

辺 $AD$ の長さを $h$ ($0 < h < a$) とし、$h$ を直接変数として微分する。

半円の面積を $U$、長方形の面積を $R(h)$、共通部分の面積を $C(h)$ とおくと、面積の和 $S(h)$ は

$$S(h) = U + R(h) - 2C(h)$$

である。

ここで、$R(h) = 2ah$ より $R'(h) = 2a$ となる。

次に $C(h)$ の微分を考える。

長方形の高さが $h$ の状態から微小量だけ高くなったとき、共通部分の面積の増加率は、高さ $h$ における共通部分の横幅に等しい。

直線 $y = h$ と半円 $x^2 + y^2 = a^2$ ($y \ge 0$) の交点の $x$ 座標は $\pm \sqrt{a^2 - h^2}$ であるため、高さ $h$ における共通部分の横幅は $2\sqrt{a^2 - h^2}$ となる。

したがって、$C(h)$ の導関数は

$$C'(h) = 2\sqrt{a^2 - h^2}$$

となる。

よって、$S(h)$ の導関数は

$$S'(h) = R'(h) - 2C'(h) = 2a - 4\sqrt{a^2 - h^2}$$

$S'(h) = 0$ とすると

$$2a = 4\sqrt{a^2 - h^2}$$

$$a = 2\sqrt{a^2 - h^2}$$

両辺は正であるから2乗して

$$a^2 = 4(a^2 - h^2)$$

$$4h^2 = 3a^2$$

$h > 0$ より $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ となる。

$0 < h < \frac{\sqrt{3}}{2}a$ のとき、$4h^2 < 3a^2$ より $4(a^2 - h^2) > a^2$、すなわち $2\sqrt{a^2 - h^2} > a$ となり $S'(h) < 0$ である。

$\frac{\sqrt{3}}{2}a < h < a$ のとき、$4h^2 > 3a^2$ より $2\sqrt{a^2 - h^2} < a$ となり $S'(h) > 0$ である。

したがって、$S(h)$ は $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ のとき極小かつ最小となる。

解説

2つの図形の重なりに関連する面積の最大・最小問題では、「求める面積 = 図形Aの面積 + 図形Bの面積 - 2 × 共通部分の面積」と変形する手法が定番である。これにより、複雑な領域の面積を直接計算する手間を省き、扱いやすい関数に帰着させることができる。

また、図形の一部が欠けたような面積を扱う場合は、解法1のように中心角を変数に設定することで、数学IIの微分の範囲で処理が可能になる。一方、解法2のように面積の微小変化を長さ（幅）として捉える考え方は、積分と微分の関係性を直感的に活用したスマートな解法である。

答え

$$\frac{\sqrt{3}}{2}a$$