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東北大学 1967年理系第6問解説

方針・初手

(1)は指定通り数学的帰納法を用いる。$n=k+1$ の式において $\sin(k+1)x$ を加法定理で展開し、$n=k$ での仮定を利用できる形に持ち込むのがポイントである。(2)は三角関数の積分の基本に従い、$a_n$ と $b_n$ を具体的に $n$ の式として求め、極限計算に持ち込む。

解法1

(1)

数学的帰納法を用いて証明する。

(i) $n=1$ のとき

左辺は $\sin x$、右辺は $\sin x$ となり、両辺が等しいため不等式は成立する。

(ii) $n=k$ ($k$ は正の整数) のとき成立すると仮定する

すなわち、$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において、$k\sin x \geqq \sin kx$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、左辺と右辺の差を考える。

$$ \begin{aligned} & (k+1)\sin x - \sin(k+1)x \\ &= k\sin x + \sin x - (\sin kx \cos x + \cos kx \sin x) \\ &= k\sin x - \sin kx \cos x + \sin x (1 - \cos kx) \end{aligned} $$

ここで、$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ であるから $\cos x \geqq 0$ である。帰納法の仮定より $k\sin x \geqq \sin kx$ であるから、両辺に $\cos x$ を掛けて

$$ k\sin x \cos x \geqq \sin kx \cos x $$

すなわち

$$ -\sin kx \cos x \geqq -k\sin x \cos x $$

が成り立つ。これを用いると、先ほどの式は以下のように評価できる。

$$ \begin{aligned} & k\sin x - \sin kx \cos x + \sin x (1 - \cos kx) \\ &\geqq k\sin x - k\sin x \cos x + \sin x (1 - \cos kx) \\ &= k\sin x (1 - \cos x) + \sin x (1 - \cos kx) \end{aligned} $$

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$\sin x \geqq 0$、$\cos x \leqq 1$ より $1 - \cos x \geqq 0$ である。また、任意の角 $kx$ について $\cos kx \leqq 1$ であるから $1 - \cos kx \geqq 0$ である。さらに、$k \geqq 1 > 0$ である。したがって、$k\sin x (1 - \cos x) \geqq 0$ かつ $\sin x (1 - \cos kx) \geqq 0$ が成り立つため、

$$ k\sin x (1 - \cos x) + \sin x (1 - \cos kx) \geqq 0 $$

となる。ゆえに

$$ (k+1)\sin x - \sin(k+1)x \geqq 0 $$

すなわち

$$ (k+1)\sin x \geqq \sin(k+1)x $$

が成り立ち、$n=k+1$ のときも不等式は成立する。

(i)、(ii) より、すべての正の整数 $n$ に対して不等式が成立することが示された。

(2)

$a_n$ と $b_n$ の積分をそれぞれ計算する。極限 $\lim_{n \to \infty}$ を考えるため、以下では $n \geqq 2$ の場合について計算する。

まず $a_n$ について。

$$ \begin{aligned} a_n &= \int_0^{\pi} (n \sin x - \sin nx) dx \\ &= \left[ -n \cos x + \frac{1}{n} \cos nx \right]_0^{\pi} \\ &= \left( -n \cos \pi + \frac{1}{n} \cos n\pi \right) - \left( -n \cos 0 + \frac{1}{n} \cos 0 \right) \\ &= \left( n + \frac{(-1)^n}{n} \right) - \left( -n + \frac{1}{n} \right) \\ &= 2n + \frac{(-1)^n - 1}{n} \end{aligned} $$

次に $b_n$ について。被積分関数を展開する。

$$ \begin{aligned} b_n &= \int_0^{\pi} (n \sin x - \sin nx)^2 dx \\ &= \int_0^{\pi} (n^2 \sin^2 x - 2n \sin x \sin nx + \sin^2 nx) dx \\ &= n^2 \int_0^{\pi} \sin^2 x dx - 2n \int_0^{\pi} \sin x \sin nx dx + \int_0^{\pi} \sin^2 nx dx \end{aligned} $$

それぞれの積分を半角の公式や積和の公式を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi} \sin^2 x dx &= \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} \sin 2x \right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi} \sin^2 nx dx &= \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2nx}{2} dx = \left[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{4n} \sin 2nx \right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

$n \geqq 2$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi} \sin x \sin nx dx &= \frac{1}{2} \int_0^{\pi} (\cos(n-1)x - \cos(n+1)x) dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{n-1} \sin(n-1)x - \frac{1}{n+1} \sin(n+1)x \right]_0^{\pi} \\ &= 0 \end{aligned} $$

これらを代入して $b_n$ を求める。

$$ \begin{aligned} b_n &= n^2 \cdot \frac{\pi}{2} - 2n \cdot 0 + \frac{\pi}{2} \\ &= \frac{\pi}{2} (n^2 + 1) \end{aligned} $$

したがって、求める極限は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{{a_n}^2} &= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\pi}{2} (n^2 + 1)}{\left( 2n + \frac{(-1)^n - 1}{n} \right)^2} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\pi}{2} n^2 \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)}{4n^2 \left( 1 + \frac{(-1)^n - 1}{2n^2} \right)^2} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{8} \cdot \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{\left( 1 + \frac{(-1)^n - 1}{2n^2} \right)^2} \end{aligned} $$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n^2} \to 0$ であり、また $|\frac{(-1)^n - 1}{2n^2}| \leqq \frac{2}{2n^2} = \frac{1}{n^2} \to 0$ より $\frac{(-1)^n - 1}{2n^2} \to 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{{a_n}^2} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{1 + 0}{(1 + 0)^2} = \frac{\pi}{8} $$

解説

(1)の数学的帰納法における式変形が関門となる。$\sin(k+1)x$ を加法定理で分解した後、帰納法の仮定 $k\sin x \geqq \sin kx$ をどの部分に適用するかがポイントである。両辺に $\cos x$ を掛けて不等式を作る際、$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の条件から $\cos x \geqq 0$ となることが効いている。

(2)の積分計算は、数学IIIにおける典型的な三角関数の定積分である。積和の公式を用いて $\sin x \sin nx$ の積分を処理する際、$n=1$ の場合と $n \geqq 2$ の場合で原始関数が異なることに注意する（今回は極限を考えるため $n \geqq 2$ とすればよい）。極限計算では、分母分子を最高次の項 $n^2$ でくくり出す基本手技を用いる。