東北大学 1975年 理系 第3問 解説

方針・初手

$P(p,1),Q(q,1)$ を通る2次関数であることから、$f(x)-1$ は $x=p,q$ を解にもつ2次式である。したがって

$$ f(x)=a(x-p)(x-q)+1 $$

とおける。これを用いて区間 $[p,q]$ における平均値

$$ \frac{1}{q-p}\int_p^q f(x),dx $$

を求め、$f(r)$ と一致する条件を調べればよい。

解法1

$f(x)$ は

$$ f(x)=a(x-p)(x-q)+1 \qquad (a\neq 0) $$

と表せる。

このとき

$$ \int_p^q f(x),dx =\int_p^q {a(x-p)(x-q)+1},dx =a\int_p^q (x-p)(x-q),dx+(q-p) $$

である。

ここで、区間の中点を

$$ m=\frac{p+q}{2},\qquad h=\frac{q-p}{2} $$

とおくと、

$$ p=m-h,\qquad q=m+h $$

であり、

$$ (x-p)(x-q)={x-(m-h)}{x-(m+h)}=(x-m)^2-h^2 $$

となる。よって $x-m=t$ とおけば

$$ \int_p^q (x-p)(x-q),dx =\int_{-h}^{h}(t^2-h^2),dt =2\int_0^h (t^2-h^2),dt $$

$$ =2\left(\frac{h^3}{3}-h^3\right) =-\frac{4}{3}h^3 =-\frac{(q-p)^3}{6} $$

したがって

$$ \frac{1}{q-p}\int_p^q f(x),dx =1-\frac{a(q-p)^2}{6} $$

である。

一方、

$$ \int_p^q f(x),dx=(q-p)f(r) $$

より

$$ f(r)=\frac{1}{q-p}\int_p^q f(x),dx =1-\frac{a(q-p)^2}{6} $$

であるから、

$$ a(r-p)(r-q)+1=1-\frac{a(q-p)^2}{6} $$

となる。$a\neq 0$ より

$$ (r-p)(r-q)=-\frac{(q-p)^2}{6} $$

を得る。

ここでもう一度 $m,h$ を用いると

$$ (r-p)(r-q)=(r-m)^2-h^2 $$

であるから、

$$ (r-m)^2-h^2=-\frac{(q-p)^2}{6}=-\frac{4h^2}{6}=-\frac{2h^2}{3} $$

すなわち

$$ (r-m)^2=\frac{h^2}{3} $$

となる。よって

$$ r=m\pm \frac{h}{\sqrt{3}} $$

すなわち

$$ r=\frac{p+q}{2}\pm \frac{q-p}{2\sqrt{3}} $$

である。

解説

この問題の要点は、$P,Q$ がともに $y=1$ 上にあるので、$f(x)-1$ が $x=p,q$ を解にもつと見ることである。すると $f(x)$ の形が一気に定まり、積分も $(x-p)(x-q)$ の積分に帰着する。

また、区間 $[p,q]$ の中点 $m=\dfrac{p+q}{2}$ を用いると式が対称になり、$r$ が中点をはさんで対称な2点として求まることも自然に見える。

答え

$$ r=\frac{p+q}{2}\pm \frac{q-p}{2\sqrt{3}} $$

である。