東北大学 1987年 理系 第1問 解説

方針・初手

条件 $a^2+b^2=c^2$ から、$\left(\dfrac{a}{c},\dfrac{b}{c}\right)$ は単位円上の点である。したがって、これを $\cos,\sin$ で表し、その半角を用いて右辺の形 $\begin{pmatrix}x&y\y&x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ を作ればよい。

解法1

$b\neq 0$ であるから $c\neq 0$ である。さらに

$$ \left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2=1 $$

より、ある実数 $\varphi$ を

$$ -\pi<\varphi<\pi,\qquad \cos\varphi=\frac{a}{c},\qquad \sin\varphi=\frac{b}{c} $$

を満たすように取れる。ここで $b\neq 0$ なので $\sin\varphi\neq 0$ であり、$\varphi=\pm\pi$ とはならない。

そこで

$$ \theta=-\frac{\varphi}{2},\qquad x=c\cos\frac{\varphi}{2},\qquad y=c\sin\frac{\varphi}{2} $$

とおく。$\varphi\in(-\pi,\pi)$ だから

$$ -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} $$

が成り立つ。

このとき

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix}x&y\y&x\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} &= c\begin{pmatrix}\cos\frac{\varphi}{2}&\sin\frac{\varphi}{2}\ \sin\frac{\varphi}{2}&\cos\frac{\varphi}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\frac{\varphi}{2}&\sin\frac{\varphi}{2}\ -\sin\frac{\varphi}{2}&\cos\frac{\varphi}{2}\end{pmatrix} \\ &= c\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\varphi}{2}-\sin^2\frac{\varphi}{2} & 2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2} \\ 0 & \sin^2\frac{\varphi}{2}+\cos^2\frac{\varphi}{2} \end{pmatrix} \\ &= c\begin{pmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\0&1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}a&b\0&c\end{pmatrix}. \end{aligned} $$

したがって、所望の $x,y,\theta$ は確かに存在する。

次に $x,y$ を $a,b,c$ で表す。

半角公式より

$$ x^2 === # c^2\cos^2\frac{\varphi}{2} # \frac{c^2(1+\cos\varphi)}{2} # \frac{c^2\left(1+\frac{a}{c}\right)}{2} \frac{c(a+c)}{2}, $$

$$ y^2 === # c^2\sin^2\frac{\varphi}{2} # \frac{c^2(1-\cos\varphi)}{2} # \frac{c^2\left(1-\frac{a}{c}\right)}{2} \frac{c(c-a)}{2}. $$

ここで $b\neq 0$ かつ $a^2+b^2=c^2$ より $|a|<|c|$ であるから、$c(a+c)>0,\ c(c-a)>0$ となり、平方根は実数で定まる。

さらに $\dfrac{\varphi}{2}\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ だから

$$ \cos\frac{\varphi}{2}>0 $$

である。したがって $x=c\cos\dfrac{\varphi}{2}$ は $c$ と同符号である。よって

$$ x=\frac{c}{|c|}\sqrt{\frac{c(a+c)}{2}}. $$

また

$$ b=c\sin\varphi ============== # 2c\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2} 2y\cos\frac{\varphi}{2} $$

であり、$\cos\dfrac{\varphi}{2}>0$ だから $y$ は $b$ と同符号である。よって

$$ y=\frac{b}{|b|}\sqrt{\frac{c(c-a)}{2}}. $$

解説

この問題の本質は、条件 $a^2+b^2=c^2$ を見て $\left(\dfrac{a}{c},\dfrac{b}{c}\right)$ を単位円上の点とみなすことである。すると

$$ \frac{a}{c}=\cos\varphi,\qquad \frac{b}{c}=\sin\varphi $$

と置けるので、あとは半角公式を使えば

$$ \begin{pmatrix}a&b\0&c\end{pmatrix} =================================== c\begin{pmatrix}\cos\frac{\varphi}{2}&\sin\frac{\varphi}{2}\ \sin\frac{\varphi}{2}&\cos\frac{\varphi}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\left(-\frac{\varphi}{2}\right)&-\sin\left(-\frac{\varphi}{2}\right)\ \sin\left(-\frac{\varphi}{2}\right)&\cos\left(-\frac{\varphi}{2}\right)\end{pmatrix} $$

という形が自然に出てくる。

未知数 $x,y,\theta$ をそのまま連立しても解けるが、存在まで含めて整理するには角 $\varphi$ を導入するのが最も見通しがよい。

答え

ある $\varphi\in(-\pi,\pi)$ を

$$ \cos\varphi=\frac{a}{c},\qquad \sin\varphi=\frac{b}{c} $$

で定めれば、

$$ \theta=-\frac{\varphi}{2},\qquad x=c\cos\frac{\varphi}{2},\qquad y=c\sin\frac{\varphi}{2} $$

として

$$ \begin{pmatrix} a & b\\ 0 & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y\\ y & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, \qquad -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} $$

と表せる。

また

$$ x=\frac{c}{|c|}\sqrt{\frac{c(a+c)}{2}},\qquad y=\frac{b}{|b|}\sqrt{\frac{c(c-a)}{2}} $$

である。