東北大学 1987年 理系 第2問 解説

方針・初手

条件 (i) は $f(1)$ を直接計算すればよい。

条件 (ii) は、三次関数 $f(x)$ が極値をもつための条件を $f'(x)$ の判別式で調べる。

条件 (iii) は $c_1,c_2,c_3$ を実際に求め、3項が等比数列をなす条件

$$ c_2^2=c_1c_3 $$

を用いて整理する。

解法1

まず

$$ f(x)=4x^3-ax^2+2bx-8 $$

であるから、

$$ f(1)=4-a+2b-8=2b-a-4 $$

となる。したがって条件 (i) は

$$ 2b-a-4>0 $$

すなわち

$$ a<2b-4 $$

である。

次に

$$ f'(x)=12x^2-2ax+2b=2(6x^2-ax+b) $$

である。三次関数が極値をもつためには、$f'(x)=0$ が異なる2つの実数解をもてばよいから、条件 (ii) は

$$ (-a)^2-4\cdot 6\cdot b>0 $$

すなわち

$$ a^2-24b>0 $$

である。

続いて $c_n$ を求める。$f(x)$ の原始関数を

$$ F(x)=x^4-\frac{a}{3}x^3+bx^2-8x $$

とすると、

$$ c_n=\int_0^{2^{n-1}}f(x),dx=F(2^{n-1})-F(0)=F(2^{n-1}) $$

であるから、

$$ c_1=F(1)=1-\frac{a}{3}+b-8=\frac{3b-a-21}{3}, $$

$$ c_2=F(2)=16-\frac{8a}{3}+4b-16=\frac{12b-8a}{3}, $$

$$ c_3=F(4)=256-\frac{64a}{3}+16b-32=\frac{48b-64a+672}{3} $$

となる。

$c_1,c_2,c_3$ が等比数列をなすから、

$$ c_2^2=c_1c_3 $$

より

$$ \left(\frac{12b-8a}{3}\right)^2 =============================== \left(\frac{3b-a-21}{3}\right)\left(\frac{48b-64a+672}{3}\right) $$

である。両辺に $9$ を掛けて整理すると、

$$ (12b-8a)^2=(3b-a-21)(48b-64a+672) $$

となり、さらに整理すると

$$ (3b-2a)^2=(3b-a-21)(3b-4a+42) $$

である。これを展開して移項すると

$$ 3(a-21)(b-14)=0 $$

となるので、

$$ (a-21)(b-14)=0 $$

すなわち

$$ a=21 \quad \text{または} \quad b=14 $$

である。

ここで場合分けする。

(i) $a=21$ のとき

条件 (i) より

$$ 2b-21-4>0 $$

すなわち

$$ 2b>25 $$

だから

$$ b\ge 13 $$

である。

また条件 (ii) より

$$ 21^2-24b>0 $$

すなわち

$$ 441>24b $$

だから

$$ b\le 18 $$

である。

よって

$$ 13\le b\le 18 $$

となる。

(ii) $b=14$ のとき

条件 (i) より

$$ 28-a-4>0 $$

すなわち

$$ a<24 $$

だから

$$ a\le 23 $$

である。

また条件 (ii) より

$$ a^2-24\cdot 14>0 $$

すなわち

$$ a^2>336 $$

である。$a$ は正の整数だから

$$ a\ge 19 $$

となる。

したがって

$$ 19\le a\le 23 $$

である。

以上より求める組は

$$ (a,b)=(21,13),(21,14),(21,15),(21,16),(21,17),(21,18), $$

$$ (a,b)=(19,14),(20,14),(22,14),(23,14) $$

である。

解説

この問題の要点は、3つの条件をそれぞれ別々に式へ落とすことである。

極値の条件は三次関数そのものではなく導関数 $f'(x)$ の判別式で見るのが基本である。また、3項が等比数列をなす条件は $c_2^2=c_1c_3$ と置くと一気に整理できる。

積分条件から $(a-21)(b-14)=0$ という非常に強い制約が出るので、最後は2つの場合に分ければ簡単に絞り込める。

答え

$$ (a,b)=(19,14),(20,14),(21,13),(21,14),(21,15),(21,16),(21,17),(21,18),(22,14),(23,14) $$

である。