東北大学 1989年 理系 第1問 解説

方針・初手

まず、平面 $\alpha$ の中で扱いやすい2本のベクトル $\vec a,\vec b$ を求める。

そのうえで、$\overrightarrow{OQ}=s\vec a+t\vec b$ と表された点 $Q$ の座標を出し、直線 $PQ$ と $xy$ 平面の交点を求める。この交点が円 $C:x^2+y^2=4$ 上にあることを式にすれば、$s,t$ の条件が得られる。

解法1

(1)

平面 $\alpha$ は

$$ x+2y+2z=0 $$

で表されるから、その法線ベクトルは

$$ \vec n=(1,2,2) $$

である。

また、$xy$ 平面は $z=0$ であり、その法線ベクトルは

$$ \vec k=(0,0,1) $$

である。

平面 $\alpha$ と $xy$ 平面の交線の方向ベクトル $\vec a$ は、$\vec n,\vec k$ の両方に垂直であるから、

$$ \vec a=\vec n\times \vec k=(2,-1,0) $$

ととれる。したがって

$$ a_2=-1,\qquad a_3=0 $$

である。

次に、$\vec b=(2,b_2,b_3)$ は平面 $\alpha$ に平行で、しかも $\vec a$ に垂直であるから、

$$ \vec n\cdot \vec b=0,\qquad \vec a\cdot \vec b=0 $$

を満たす。

まず $\vec a\cdot \vec b=0$ より

$$ (2,-1,0)\cdot (2,b_2,b_3)=4-b_2=0 $$

となるので、

$$ b_2=4 $$

である。

さらに $\vec n\cdot \vec b=0$ より

$$ (1,2,2)\cdot (2,4,b_3)=2+8+2b_3=0 $$

すなわち

$$ 2b_3=-10 $$

であるから、

$$ b_3=-5 $$

となる。

よって

$$ \vec a=(2,-1,0),\qquad \vec b=(2,4,-5) $$

である。

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(2)

$\overrightarrow{OQ}=s\vec a+t\vec b$ であるから、

$$ Q=s(2,-1,0)+t(2,4,-5) $$

より

$$ Q=(2s+2t,,-s+4t,,-5t) $$

である。

ここで

$$ P=(0,0,5) $$

なので、直線 $PQ$ は

$$ (x,y,z)=(0,0,5)+\lambda,(2s+2t,,-s+4t,,-5t-5) $$

と表される。

この直線が円 $C$ と交わるためには、まず $xy$ 平面、すなわち $z=0$ と交わる必要がある。$z=0$ より

$$ 5+\lambda(-5t-5)=0 $$

したがって

$$ \lambda=\frac{1}{t+1} $$

となる。

このときの交点の座標は

$$ \left( \frac{2s+2t}{t+1}, \frac{-s+4t}{t+1}, 0 \right) $$

である。

これが円 $C:x^2+y^2=4$ 上にあることが必要十分であるから、

$$ \left(\frac{2s+2t}{t+1}\right)^2+\left(\frac{-s+4t}{t+1}\right)^2=4 $$

を満たせばよい。

両辺に $(t+1)^2$ を掛けると、

$$ (2s+2t)^2+(-s+4t)^2=4(t+1)^2 $$

左辺を整理すると、

$$ 4(s+t)^2+(s-4t)^2 =4(s^2+2st+t^2)+(s^2-8st+16t^2) =5s^2+20t^2 $$

となるので、

$$ 5s^2+20t^2=4(t+1)^2 $$

を得る。

これが求める必要十分条件である。

なお、展開して

$$ 5s^2+16t^2-8t-4=0 $$

としてもよい。さらに平方完成すると

$$ 5s^2+16\left(t-\frac14\right)^2=5 $$

とも書ける。

解説

（1） では、交線の方向ベクトルは2つの平面の法線ベクトルに同時に垂直である、という立体図形の基本事項を使うのが最短である。

（2） では、円 $C$ が $xy$ 平面上にあるので、まず直線 $PQ$ と $xy$ 平面の交点を求めるのが本筋である。その交点の $(x,y)$ が $x^2+y^2=4$ を満たすことを調べればよい。

計算上のポイントは、$(2s+2t)^2+(-s+4t)^2$ を展開したときに $st$ の項が消えることである。

答え

$$ \vec a=(2,-1,0),\qquad \vec b=(2,4,-5) $$

したがって

$$ a_2=-1,\ a_3=0,\ b_2=4,\ b_3=-5 $$

である。

また、直線 $PQ$ が円 $C$ と交わるための $s,t$ の必要十分条件は

$$ 5s^2+20t^2=4(t+1)^2 $$

である。

同値な形として

$$ 5s^2+16t^2-8t-4=0 $$

または

$$ 5s^2+16\left(t-\frac14\right)^2=5 $$

としてもよい。