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東北大学 1999年理系第1問解説

方針・初手

まず $f''(x)$ を求めて $f'(x)$ の単調性を示す。すると $x=1$ において $f'(1)=0$ であることから、$f(x)$ の最小値が $x=1$ で与えられることが分かる。最後の不等式は、(2) の結果に $x=\dfrac{p}{q}$ を代入して整理すればよい。

解法1

(1) $f'(x)$ が単調増加であることを示す。

$$ f(x)=\frac{x^2+1}{2}\log\frac{x^2+1}{2}+\frac12(x-1)^2-x^2\log x \qquad (x>0) $$

であるから、微分すると

$$ \begin{aligned} f'(x) &=x\left(\log\frac{x^2+1}{2}+1\right)+(x-1)-(2x\log x+x) \ &=x\log\frac{x^2+1}{2}+x-1-2x\log x \end{aligned} $$

となる。さらにもう一度微分すると

$$ \begin{aligned} f''(x) &=\log\frac{x^2+1}{2}+\frac{2x^2}{x^2+1}+1-1-2\log x-2+1 \ &=\log\frac{x^2+1}{2x^2}+\frac{x^2-1}{x^2+1}. \end{aligned} $$

ここで

$$ u=\frac{2x^2}{x^2+1}>0 $$

とおくと、

$$ \frac{x^2-1}{x^2+1}=u-1,\qquad \log\frac{x^2+1}{2x^2}=-\log u $$

であるから、

$$ f''(x)=u-1-\log u $$

と書ける。

そこで $\phi(u)=u-1-\log u$ とおくと、

$$ \phi'(u)=1-\frac1u=\frac{u-1}{u} $$

より、$\phi(u)$ は $u=1$ で最小となる。また

$$ \phi(1)=0 $$

であるから、任意の $u>0$ について

$$ u-1-\log u\ge 0 $$

が成り立つ。したがって

$$ f''(x)\ge 0 \qquad (x>0) $$

であり、$f'(x)$ は $x>0$ で単調増加である。

(2) $f(x)\ge 0$ を示し、$f(x)=0$ となる $x$ を求める。

まず $x=1$ を代入すると

$$ f(1)=\frac{1+1}{2}\log\frac{1+1}{2}+\frac12(1-1)^2-1^2\log 1=0 $$

である。また

$$ f'(1)=1\cdot \log 1+1-1-2\cdot 1\cdot \log 1=0 $$

である。

(1) により $f'(x)$ は単調増加であり、しかも $f'(1)=0$ であるから、

$$ 0<x<1 \Rightarrow f'(x)<0,\qquad x>1 \Rightarrow f'(x)>0 $$

となる。よって $f(x)$ は $x=1$ で最小値をとる。

したがって

$$ f(x)\ge f(1)=0 \qquad (x>0) $$

であり、

$$ f(x)=0 \iff x=1 $$

である。

(3) 正の実数 $p,q$ について

$$ \frac{p^2+q^2}{2}\log\frac{p^2+q^2}{2}\ge -\frac12(p-q)^2+\frac{p^2\log p^2+q^2\log q^2}{2} $$

を示す。

(2) より、任意の $x>0$ に対して $f(x)\ge 0$ である。ここで

$$ x=\frac{p}{q}>0 $$

とおくと、

$$ \frac{\frac{p^2}{q^2}+1}{2}\log\frac{\frac{p^2}{q^2}+1}{2} +\frac12\left(\frac{p}{q}-1\right)^2 -\frac{p^2}{q^2}\log\frac{p}{q}\ge 0 $$

を得る。両辺に $q^2$ を掛けると

$$ \frac{p^2+q^2}{2}\log\frac{p^2+q^2}{2q^2} +\frac12(p-q)^2 -p^2\log\frac{p}{q}\ge 0 $$

である。これを整理すると

$$ \begin{aligned} 0 &\le \frac{p^2+q^2}{2}\left(\log\frac{p^2+q^2}{2}-\log q^2\right) +\frac12(p-q)^2 -\frac12p^2(\log p^2-\log q^2) \ &= \frac{p^2+q^2}{2}\log\frac{p^2+q^2}{2} +\frac12(p-q)^2 -\frac12p^2\log p^2 -\frac12q^2\log q^2. \end{aligned} $$

よって

$$ \frac{p^2+q^2}{2}\log\frac{p^2+q^2}{2}\ge -\frac12(p-q)^2+\frac{p^2\log p^2+q^2\log q^2}{2} $$

が成り立つ。