東北大学 1999年 理系 第2問 解説

方針・初手

原点を通る直線の長さ $1$ の方向ベクトルを $(a,b,c)$ とすると，その直線は

$$ \ell:\ (x,y,z)=t(a,b,c)\qquad (t\in\mathbb{R}) $$

と表せる。

直線が球面に接する条件は，「球の中心から直線までの距離が半径に等しいこと」である。中心が座標軸上にあるので，距離公式を用いて $a,b$ をそれぞれ決め，最後に $a^2+b^2+c^2=1$ から $c$ を求めればよい。

解法1

方向ベクトルは長さ $1$ であるから，

$$ a^2+b^2+c^2=1 $$

が成り立つ。

まず，球面 $S_1$ の中心は $(10,0,0)$，半径は $9$ である。 原点を通り方向ベクトル $(a,b,c)$ をもつ直線 $\ell$ への点 $(10,0,0)$ からの距離の二乗は，

$$ |(10,0,0)|^2-{(10,0,0)\cdot (a,b,c)}^2 $$

である。したがって

$$ 100-(10a)^2=9^2 $$

となる。よって

$$ 100-100a^2=81 $$

より，

$$ a^2=\frac{19}{100} $$

すなわち

$$ a=\pm \frac{\sqrt{19}}{10} $$

である。

次に，球面 $S_2$ の中心は $(0,10,0)$，半径は $8$ である。同様にして，点 $(0,10,0)$ から直線 $\ell$ までの距離が $8$ だから，

$$ 100-(10b)^2=8^2 $$

すなわち

$$ 100-100b^2=64 $$

より，

$$ b^2=\frac{36}{100}=\frac{9}{25} $$

したがって

$$ b=\pm \frac35 $$

である。

あとは単位ベクトルの条件を用いると，

$$ c^2=1-a^2-b^2 =1-\frac{19}{100}-\frac{36}{100} =\frac{45}{100} =\frac{9}{20} $$

ゆえに

$$ c=\pm \frac{3}{\sqrt{20}}=\pm \frac{3\sqrt5}{10} $$

となるが，条件 $c\geqq 0$ より

$$ c=\frac{3\sqrt5}{10} $$

である。

したがって求める方向ベクトルは，$a,b$ の符号の組合せによって

$$ \left(\frac{\sqrt{19}}{10},\frac35,\frac{3\sqrt5}{10}\right),\ \left(\frac{\sqrt{19}}{10},-\frac35,\frac{3\sqrt5}{10}\right),\ \left(-\frac{\sqrt{19}}{10},\frac35,\frac{3\sqrt5}{10}\right),\ \left(-\frac{\sqrt{19}}{10},-\frac35,\frac{3\sqrt5}{10}\right) $$

の $4$ 個である。

解説

直線が球面に接する条件は，接点を直接求めるよりも「中心から直線までの距離」で処理するのが最も速い。

この問題では球の中心がそれぞれ $x$ 軸上，$y$ 軸上にあるため，$S_1$ からは $a$，$S_2$ からは $b$ が独立に決まる。最後に単位ベクトル条件で $c$ を決めれば終わる。 また，方向ベクトルは通常 $\pm$ が同じ直線を表すが，本問では $c\geqq 0$ という条件があるので重複が除かれ，答えはちょうど $4$ 個になる。

答え

$$ \left(\frac{\sqrt{19}}{10},\frac35,\frac{3\sqrt5}{10}\right),\ \left(\frac{\sqrt{19}}{10},-\frac35,\frac{3\sqrt5}{10}\right),\ \left(-\frac{\sqrt{19}}{10},\frac35,\frac{3\sqrt5}{10}\right),\ \left(-\frac{\sqrt{19}}{10},-\frac35,\frac{3\sqrt5}{10}\right) $$

である。