東北大学 2008年 理系 第6問 解説

方針・初手

交点 $P,Q$ は円 $x^2+y^2=1$ 上にあるので，まず極座標的に

$$ P=(\cos\alpha,\sin\alpha),\qquad Q=(-\cos\beta,-\sin\beta) $$

とおける。これを放物線 $y=x^2+2kx$ の式に代入すれば，$k,\alpha,\beta$ の関係が得られる。

面積は，求める図形が「放物線の上側」にあることに注意して，$x$ で積分するのが自然である。

解法1

(1)

$k$ を $\alpha$ で表す。

$P=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ は $y=x^2+2kx$ 上にあるから，

$$ \sin\alpha=\cos^2\alpha+2k\cos\alpha $$

である。$\cos\alpha>0$ より，

$$ k=\frac{\sin\alpha-\cos^2\alpha}{2\cos\alpha} =\frac{\tan\alpha-\cos\alpha}{2}. $$

したがって，

$$ k=\frac{\tan\alpha-\cos\alpha}{2} $$

である。

（2） 面積 $S(k)$ を $\alpha,\beta$ で表す。

求める図形は，$x=-1$ から $x=-\cos\beta$ までは円全体，$x=-\cos\beta$ から $x=\cos\alpha$ までは上側が円，下側が放物線である。したがって

$$ S(k) =\int_{-1}^{-\cos\beta}2\sqrt{1-x^2},dx +\int_{-\cos\beta}^{\cos\alpha}\left(\sqrt{1-x^2}-(x^2+2kx)\right),dx. $$

まず円の部分を計算する。原始関数

$$ \int \sqrt{1-x^2},dx =\frac12\left(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\right)+C $$

を用いると，

$$ \int_{-1}^{-\cos\beta}2\sqrt{1-x^2},dx =\beta-\sin\beta\cos\beta $$

であり，また

$$ \int_{-\cos\beta}^{\cos\alpha}\sqrt{1-x^2},dx =\frac{\pi-\alpha-\beta+\sin\alpha\cos\alpha+\sin\beta\cos\beta}{2} $$

である。

次に放物線の部分を計算する。

$$ \int_{-\cos\beta}^{\cos\alpha}(x^2+2kx),dx =\frac{\cos^3\alpha+\cos^3\beta}{3}+k(\cos^2\alpha-\cos^2\beta) $$

となる。ここで，$P,Q$ が放物線上にあることから

$$ \sin\alpha=\cos^2\alpha+2k\cos\alpha, \qquad -\sin\beta=\cos^2\beta-2k\cos\beta $$

であるから，

$$ k\cos^2\alpha=\frac{\sin\alpha\cos\alpha-\cos^3\alpha}{2}, \qquad k\cos^2\beta=\frac{\sin\beta\cos\beta+\cos^3\beta}{2} $$

を得る。これを代入すると，

$$ \int_{-\cos\beta}^{\cos\alpha}(x^2+2kx),dx =\frac{\sin\alpha\cos\alpha-\sin\beta\cos\beta}{2} -\frac{\cos^3\alpha+\cos^3\beta}{6} $$

となる。

以上をまとめると，

$$ \begin{aligned} S(k) &=\left(\beta-\sin\beta\cos\beta\right) +\frac{\pi-\alpha-\beta+\sin\alpha\cos\alpha+\sin\beta\cos\beta}{2} \\ &\quad -\left( \frac{\sin\alpha\cos\alpha-\sin\beta\cos\beta}{2} -\frac{\cos^3\alpha+\cos^3\beta}{6} \right). \end{aligned} $$

整理して，

$$ S(k)=\frac{\pi-\alpha+\beta}{2} +\frac{\cos^3\alpha+\cos^3\beta}{6}. $$

(3)

$\displaystyle \lim_{k\to\infty}S(k)$ を求める。

（1） より

$$ 2k=\tan\alpha-\cos\alpha $$

である。$k\to\infty$ のとき右辺も $\infty$ に発散するので，

$$ \alpha\to \frac{\pi}{2} $$

である。

また，$Q=(-\cos\beta,-\sin\beta)$ を放物線の式に代入すると

$$ -\sin\beta=\cos^2\beta-2k\cos\beta $$

より

$$ 2k=\cos\beta+\tan\beta $$

を得る。したがって $k\to\infty$ のとき

$$ \beta\to\frac{\pi}{2} $$

である。

ゆえに $\cos\alpha\to0,\ \cos\beta\to0$ であるから，

$$ \lim_{k\to\infty}S(k) =\frac{\pi-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}}{2} =\frac{\pi}{2}. $$

解説

この問題の要点は，交点を円の偏角で表して

$$ P=(\cos\alpha,\sin\alpha),\qquad Q=(-\cos\beta,-\sin\beta) $$

と置くことである。これにより，交点条件がそのまま $\alpha,\beta$ と $k$ の関係式になる。

面積については，円弧だけで処理しようとすると見通しが悪い。$x$ で積分し，どの区間で「円全体」が入るか，どの区間で「上が円，下が放物線」になるかを丁寧に分けるのが確実である。

最後の極限では，$k\to\infty$ のとき交点が $y$ 軸に近づくので，$\alpha,\beta\to \frac{\pi}{2}$ となり，面積は半円の面積 $\frac{\pi}{2}$ に近づく。

答え

$$ \text{(1)}\qquad k=\frac{\tan\alpha-\cos\alpha}{2} $$

$$ \text{(2)}\qquad S(k)=\frac{\pi-\alpha+\beta}{2} +\frac{\cos^3\alpha+\cos^3\beta}{6} $$

$$ \text{(3)}\qquad \lim_{k\to\infty}S(k)=\frac{\pi}{2} $$