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東北大学 2011年理系第4問解説

方針・初手

座標を置いてベクトルを具体化するのが最も直接的である。

$O=(0,0)$、$A=(3,0)$ とおき、$\theta$ を用いて $B$ を表す。まず交点 $R$ を求め、その後 $\overrightarrow{OR}\perp \overrightarrow{AB}$ の条件を $\cos\theta$ の式に直す。最後に、その式がどの $\theta,(0<\theta<\pi)$ に対しても成り立たないような $t$ の範囲を調べればよい。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\vec a$ の長さは $3$ であるから、

$$ O=(0,0),\quad A=(3,0) $$

とおいてよい。

また、$\vec b$ の大きさは $2$ で、$\vec a$ と角 $\theta\ (0<\theta<\pi)$ をなすので、

$$ B=(2\cos\theta,,2\sin\theta) $$

と表せる。さらに

$$ P=(3t,0),\quad Q=(\cos\theta,\sin\theta) $$

である。

交点 $R$ の座標

$R$ は線分 $AQ$ と線分 $BP$ の交点であるから、ある実数 $u,v$ を用いて

$$ R=A+u(Q-A)=B+v(P-B) $$

と書ける。

成分で表すと

$$ R=(3+u(\cos\theta-3),,u\sin\theta) $$

かつ

$$ R=(2\cos\theta+v(3t-2\cos\theta),,2\sin\theta(1-v)) $$

である。

ここで $0<\theta<\pi$ より $\sin\theta>0$ だから、$y$ 成分を比較して

$$ u=2(1-v) $$

を得る。これを $x$ 成分に代入すると

$$ 3+2(1-v)(\cos\theta-3)=2\cos\theta+v(3t-2\cos\theta) $$

となり、整理して

$$ v=\frac{1}{2-t} $$

を得る。したがって

$$ R=B+\frac{1}{2-t}(P-B) =\frac{1-t}{2-t}B+\frac{1}{2-t}P $$

である。

よってベクトルで書けば

$$ \overrightarrow{OR} =\frac{1}{2-t}\bigl((1-t)\vec b+t\vec a\bigr) $$

となる。

$\overrightarrow{OR}\perp \overrightarrow{AB}$ の条件

$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$ であるから、

$$ \overrightarrow{OR}\perp \overrightarrow{AB} $$

は

$$ \bigl((1-t)\vec b+t\vec a\bigr)\cdot(\vec b-\vec a)=0 $$

と同値である。

ここで

$$ |\vec a|=3,\quad |\vec b|=2,\quad \vec a\cdot\vec b=3\cdot2\cos\theta=6\cos\theta $$

だから、

$$ \begin{aligned} 0&=\bigl((1-t)\vec b+t\vec a\bigr)\cdot(\vec b-\vec a)\\ &=(1-t)(|\vec b|^2-\vec a\cdot\vec b)+t(\vec a\cdot\vec b-|\vec a|^2)\\ &=(1-t)(4-6\cos\theta)+t(6\cos\theta-9). \end{aligned} $$

整理すると

$$ 6(2t-1)\cos\theta=13t-4 $$

を得る。