東北大学 2014年 理系 第6問 解説

方針・初手

（1） は微分して増減を調べればよい。対数の和でできた関数なので、微分すると有理式になり、極値の位置がすぐに決まる。

（2） は各項が正であることに着目し、相加平均と相乗平均の関係を用いるのが最短である。積がきれいに約分できる形になっている。

解法1

(1)

与えられた関数を整理すると、

$$ f(x)=(n+1)\log(a+x)-\log x-(n+1)\log(n+1)-n\log a+n\log n $$

である。したがって、

$$ f'(x)=\frac{n+1}{a+x}-\frac{1}{x} =\frac{(n+1)x-(a+x)}{x(a+x)} =\frac{nx-a}{x(a+x)} $$

となる。

ここで、定義域は $x>0$ であり、$a>0$ だから $x(a+x)>0$ である。よって $f'(x)$ の符号は $nx-a$ の符号で決まる。

したがって、

• $0<x<\dfrac{a}{n}$ では $f'(x)<0$
• $x>\dfrac{a}{n}$ では $f'(x)>0$

である。ゆえに $x=\dfrac{a}{n}$ で極小となる。

極小値を求めるために $x=\dfrac{a}{n}$ を代入する。

まず、

$$ a+\frac{a}{n}=a\left(1+\frac{1}{n}\right)=a\frac{n+1}{n} $$

であるから、

$$ \log\left(a+\frac{a}{n}\right)-\log(n+1) =\log\left(a\frac{n+1}{n}\right)-\log(n+1) =\log a-\log n $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{a}{n}\right) &=(n+1)(\log a-\log n)-n(\log a-\log n)-\log\left(\frac{a}{n}\right) \\ &=(\log a-\log n)-(\log a-\log n) \\ &=0 \end{aligned} $$

を得る。

また、

$$ \lim_{x\to 0+}f(x)=+\infty $$

である。さらに $x\to\infty$ とすると $\log(a+x)\sim \log x$ なので、

$$ f(x)\sim n\log x \to +\infty $$

である。したがって、極大値は存在しない。

以上より、$x>0$ において $f(x)$ は $x=\dfrac{a}{n}$ で極小値 $0$ をとる。

(2)

正の数

$$ \frac{2}{1},\ \frac{3}{2},\ \dots,\ \frac{n+1}{n} $$

に相加平均と相乗平均の関係を適用する。

すると、

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k} \geqq \left(\prod_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k}\right)^{1/n} $$

である。

ここで積は望ましく約分して、

$$ \prod_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k} ============================ \frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdots\frac{n+1}{n} =n+1 $$

となる。したがって、

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k} \geqq (n+1)^{1/n} $$

を得る。

さらに、$n\geqq 2$ のとき $\dfrac{2}{1},\dfrac{3}{2},\dots,\dfrac{n+1}{n}$ はすべて等しいわけではないから、相加平均と相乗平均の関係で等号は成立しない。よって、

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k} > (n+1)^{1/n} $$

が成り立つ。

解説

（1） は、対数関数そのものを扱うというより、微分後の符号を見る問題である。定数項を整理すると本質は

$$ (n+1)\log(a+x)-\log x $$

の増減にある。臨界点がただ1つ出て、その前後で減少・増加に分かれるので、極小であることが即座に分かる。

（2） は典型的な相加平均・相乗平均の適用問題である。各項の積が

$$ \frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdots\frac{n+1}{n}=n+1 $$

と連鎖的に約分される形になっているのが決定的である。和を評価したいが、積がきれいに求まるときは相加平均・相乗平均を疑うのが基本である。

答え

(1)

$x=\dfrac{a}{n}$ で極小値 $0$ をとる。極大値は存在しない。

(2)

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k}>(n+1)^{1/n} $$

が成り立つ。