東北大学 2019年 文系 第1問 解説

方針・初手

直線 $y=ax$ と放物線 $y=x^2+a$ の交点の $x$ 座標は、両式を連立して得られる2次方程式の解である。

したがって、交点 $P(b,ab),Q(c,ac)$ の $x$ 座標 $b,c$ は

$$ x^2+a=ax $$

すなわち

$$ x^2-ax+a=0 $$

の2解である。ここで $c=b^2$ という条件を用い、解と係数の関係を使って $a,b$ を決定する。

解法1

交点の $x$ 座標 $b,c$ は 2 次方程式

$$ x^2-ax+a=0 $$

の2解であるから、解と係数の関係より

$$ b+c=a,\qquad bc=a $$

が成り立つ。

ここで条件 $c=b^2$ を代入すると、

$$ a=b+b^2 $$

および

$$ a=b\cdot b^2=b^3 $$

となる。よって

$$ b+b^2=b^3 $$

すなわち

$$ b^3-b^2-b=0 $$

である。これを因数分解すると

$$ b(b^2-b-1)=0 $$

を得る。

$b=0$ ならば $c=b^2=0$ となり、さらに $a=bc=0$ となってしまい、$a\neq 0$ に反する。したがって $b\neq 0$ であるから、

$$ b^2-b-1=0 $$

が成り立つ。

これを解くと

$$ b=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} $$

である。条件 $b<0$ より

$$ b=\frac{1-\sqrt{5}}{2} $$

である。

次に $a=bc=b^3$ より $a$ を求める。$b^2-b-1=0$ から

$$ b^2=b+1 $$

なので、

$$ b^3=b(b^2)=b(b+1)=b^2+b=(b+1)+b=2b+1 $$

となる。したがって

$$ a=2b+1=2\cdot \frac{1-\sqrt{5}}{2}+1=2-\sqrt{5} $$

である。

解法2

交点の $x$ 座標 $b,c$ は

$$ x^2-ax+a=0 $$

の2解である。したがって、この2次式は

$$ (x-b)(x-c) $$

と表せる。

条件 $c=b^2$ より

$$ x^2-ax+a=(x-b)(x-b^2) $$

である。右辺を展開すると

$$ (x-b)(x-b^2)=x^2-(b+b^2)x+b^3 $$

となるから、係数比較により

$$ a=b+b^2,\qquad a=b^3 $$

を得る。

よって

$$ b+b^2=b^3 $$

すなわち

$$ b(b^2-b-1)=0 $$

である。

$a\neq 0$ なので $b=0$ は不適であり、

$$ b^2-b-1=0 $$

となる。条件 $b<0$ より

$$ b=\frac{1-\sqrt{5}}{2} $$

である。

さらに

$$ a=b^3 $$

より

$$ a=2-\sqrt{5} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、交点の座標をそのまま追うのではなく、交点の $x$ 座標 $b,c$ を2次方程式の解とみなすことである。

すると、条件 $c=b^2$ が「2つの解の関係」として使えるようになり、解と係数の関係

$$ b+c=a,\qquad bc=a $$

から $a$ を2通りに表せる。そこを一致させると $b$ の方程式が得られ、一気に決まる。

答え

$$ a=2-\sqrt{5},\qquad b=\frac{1-\sqrt{5}}{2} $$