東北大学 2023年 理系 第3問 解説

方針・初手

漸化式

$$ (n+2)a_{n+1}=na_n+2 $$

では、まず定数解を探すのが有効である。実際、$a_n=1$ を代入すると成立するので、$a_n-1$ に着目すると漸化式が同次形に簡単になる。

その後、$n(n+1)(a_n-1)$ が一定になることを用いて一般項を求め、最後に和

$$ \sum_{n=1}^m a_n $$

を計算する。

解法1

$a_n=1$ は与えられた漸化式の解である。そこで

$$ b_n=a_n-1 $$

とおく。

すると

$$ (n+2)(b_{n+1}+1)=n(b_n+1)+2 $$

より

$$ (n+2)b_{n+1}=nb_n $$

を得る。

両辺に $n+1$ を掛けると

$$ (n+1)(n+2)b_{n+1}=n(n+1)b_n $$

となるから、数列 ${n(n+1)b_n}$ は一定である。

よって

$$ n(n+1)b_n=1\cdot 2,b_1=2(s-1) $$

である。したがって

$$ b_n=\frac{2(s-1)}{n(n+1)} $$

となり、

$$ a_n=1+\frac{2(s-1)}{n(n+1)} $$

を得る。

これで （1） は求まった。

次に （2） を考える。上の式を用いると

$$ \sum_{n=1}^m a_n =\sum_{n=1}^m\left(1+\frac{2(s-1)}{n(n+1)}\right) =m+2(s-1)\sum_{n=1}^m\frac{1}{n(n+1)} $$

である。

ここで

$$ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} $$

より、

$$ \sum_{n=1}^m\frac{1}{n(n+1)} =\sum_{n=1}^m\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) =1-\frac{1}{m+1} =\frac{m}{m+1} $$

となる。

したがって

$$ \sum_{n=1}^m a_n =m+2(s-1)\frac{m}{m+1} $$

である。

これが $0$ になるので

$$ m+2(s-1)\frac{m}{m+1}=0 $$

であり、$m>0$ だから両辺を $m$ で割って

$$ 1+\frac{2(s-1)}{m+1}=0 $$

を得る。よって

$$ 2(s-1)=-(m+1) $$

すなわち

$$ s=\frac{1-m}{2} $$

である。

解説

この問題の要点は、非同次漸化式に対してまず定数解 $a_n=1$ を見つけることである。これにより $a_n-1$ が満たす漸化式は

$$ (n+2)b_{n+1}=nb_n $$

という扱いやすい形になる。

さらに、$n(n+1)b_n$ が一定になると見抜ければ一般項はすぐに出る。和の計算では

$$ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} $$

という基本的な部分分数分解を使うのが典型である。

答え

$$ a_n=1+\frac{2(s-1)}{n(n+1)} $$

また、

$$ \sum_{n=1}^m a_n=0 $$

となるための $s$ は

$$ s=\frac{1-m}{2} $$

である。