東北大学 2023年 理系 第2問 解説

方針・初手

和積の公式を用いて $f(x)=\sin 3x+\sin x$ を因数分解すると，方程式 $f(x)=0$ の解が一気に求まる。

そのうえで，正の解は等差数列として並ぶので，$m$ 以下の解の個数 $p(m)$ は床関数で表せる。

解法1

和積の公式より，

$$ \sin 3x+\sin x=2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}=2\sin 2x\cos x $$

である。したがって，

$$ f(x)=0 $$

は

$$ 2\sin 2x\cos x=0 $$

と同値であるから，

$$ \sin 2x=0 \quad \text{または} \quad \cos x=0 $$

となる。

まず，

$$ \sin 2x=0 $$

より，

$$ 2x=n\pi \quad (n\in \mathbb{Z}) $$

すなわち，

$$ x=\frac{n\pi}{2} \quad (n\in \mathbb{Z}) $$

である。

また，

$$ \cos x=0 $$

より，

$$ x=\frac{(2k+1)\pi}{2} \quad (k\in \mathbb{Z}) $$

であるが，これはすでに $x=\dfrac{n\pi}{2}$ の中に含まれている。

よって，$f(x)=0$ を満たす実数解は

$$ x=\frac{n\pi}{2} \quad (n\in \mathbb{Z}) $$

であり，正の実数解は

$$ x=\frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi,\ \dots $$

である。

（1） 正の実数解のうち最小のものは

$$ \frac{\pi}{2} $$

である。

(2)

$m$ 以下の正の解の個数を $p(m)$ とする。

正の解は

$$ x=\frac{n\pi}{2} \quad (n=1,2,3,\dots) $$

であるから，これが $m$ 以下である条件は

$$ \frac{n\pi}{2}\le m $$

すなわち，

$$ n\le \frac{2m}{\pi} $$

である。したがって，

$$ p(m)=\left\lfloor \frac{2m}{\pi}\right\rfloor $$

となる。

よって，

$$ \frac{2m}{\pi}-1<\left\lfloor \frac{2m}{\pi}\right\rfloor \le \frac{2m}{\pi} $$

より，

$$ \frac{2}{\pi}-\frac{1}{m}<\frac{p(m)}{m}\le \frac{2}{\pi} $$

を得る。ここで $m\to\infty$ とすると，はさみうちの原理により

$$ \lim_{m\to\infty}\frac{p(m)}{m}=\frac{2}{\pi} $$

である。

解説

この問題の本質は，三角関数の和を積に直して零点を調べることである。

$\sin 3x+\sin x$ は一見すると複雑に見えるが，$2\sin 2x\cos x$ と変形すれば零点の位置がすぐに分かる。さらに，得られた正の解が $\dfrac{\pi}{2}$ 間隔で並ぶことから，個数の問題は「等差数列の何項目まで入るか」という単純な数え上げになる。

答え

$$ \text{(1)}\ \frac{\pi}{2} $$

$$ \text{(2)}\ \lim_{m\to\infty}\frac{p(m)}{m}=\frac{2}{\pi} $$