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東北大学 2023年理系第5問解説

方針・初手

与えられている条件は内積で処理できるものばかりである。まず

$$ \vec a\cdot\vec b,\quad \vec c\cdot\vec a $$

を求める。

つぎに、$H$ は平面 $OAB$ への垂足なので、$\overrightarrow{OH}$ は $\vec a,\vec b$ の一次結合で表せる。これを用いて $\overrightarrow{OH}$ を決定する。

最後は、$\overrightarrow{OK}$ を

$$ \overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OH}+t\vec c $$

の形で見つけ、これが平面 $ABC$ に垂直であることを示せばよい。

解法1

(1)

$\vec a\cdot\vec b,\ \vec c\cdot\vec a$ を求める。

$\angle AOB=60^\circ$、$|\vec a|=2$、$|\vec b|=3$ より、

$$ \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos 60^\circ=2\cdot 3\cdot \frac12=3 $$

である。

また、線分 $OC$ と線分 $AB$ は垂直であるから、

$$ \vec c\perp (\vec b-\vec a) $$

であり、

$$ \vec c\cdot(\vec b-\vec a)=0 $$

が成り立つ。したがって

$$ \vec c\cdot\vec b=\vec c\cdot\vec a $$

である。問題文より $\vec b\cdot\vec c=3$ だから、

$$ \vec c\cdot\vec a=3 $$

を得る。

よって

$$ \vec a\cdot\vec b=3,\qquad \vec c\cdot\vec a=3 $$

である。

(2)

$\overrightarrow{OH}$ を $\vec a,\vec b$ で表す。

$H$ は平面 $OAB$ 上の点であるから、ある実数 $x,y$ を用いて

$$ \overrightarrow{OH}=x\vec a+y\vec b $$

とおける。

$CH$ は平面 $OAB$ に垂直であるから、

$$ \overrightarrow{CH}=\overrightarrow{OH}-\vec c $$

は $\vec a,\vec b$ の両方に垂直である。よって

$$ (\overrightarrow{OH}-\vec c)\cdot\vec a=0,\qquad (\overrightarrow{OH}-\vec c)\cdot\vec b=0 $$

が成り立つ。

これに $\overrightarrow{OH}=x\vec a+y\vec b$ を代入し、(1) の結果 $\vec a\cdot\vec b=3,\ \vec c\cdot\vec a=3,\ \vec c\cdot\vec b=3$ を用いると、

$$ ( x\vec a+y\vec b-\vec c)\cdot\vec a=0 $$

より

$$ 4x+3y-3=0 $$

また、

$$ ( x\vec a+y\vec b-\vec c)\cdot\vec b=0 $$

より

$$ 3x+9y-3=0 $$

となる。

これを解くと、

$$ \begin{aligned} 4x+3y&=3,\\ x+3y&=1 \end{aligned} $$

より

$$ x=\frac23,\qquad y=\frac19 $$

である。

したがって

$$ \overrightarrow{OH}=\frac23\vec a+\frac19\vec b $$

となる。

(3)

$\vec c$ と $\overrightarrow{HK}$ が平行であることを示す。

(2) より

$$ \overrightarrow{OH}=\frac23\vec a+\frac19\vec b $$

である。ここで点 $L$ を

$$ \overrightarrow{OL}=\overrightarrow{OH}+\frac29\vec c $$

で定める。

すると

$$ \overrightarrow{OL} =\frac23\vec a+\frac19\vec b+\frac29\vec c $$

であり、係数の和は

$$ \frac23+\frac19+\frac29=1 $$

だから、$L$ は平面 $ABC$ 上にある。

次に、$\overrightarrow{OL}$ が平面 $ABC$ に垂直であることを示す。

平面 $ABC$ 内の2本の独立なベクトルとして

$$ \overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a,\qquad \overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a $$

をとる。

まず、$\vec c\perp(\vec b-\vec a)$ より

$$ \vec c\cdot(\vec b-\vec a)=0 $$

である。

一方、$CH\perp$ 平面 $OAB$ であるから $(\overrightarrow{OH}-\vec c)\perp \vec a,\vec b$ であり、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot\vec a=\vec c\cdot\vec a=3,\qquad \overrightarrow{OH}\cdot\vec b=\vec c\cdot\vec b=3 $$

となる。よって

$$ \overrightarrow{OH}\cdot(\vec b-\vec a)=0 $$

である。

したがって

$$ \overrightarrow{OL}\cdot(\vec b-\vec a) ======================================= \left(\overrightarrow{OH}+\frac29\vec c\right)\cdot(\vec b-\vec a) =0 $$

を得る。

つぎに、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot\vec c ============================== # \left(\frac23\vec a+\frac19\vec b\right)\cdot\vec c \frac23\cdot 3+\frac19\cdot 3 =\frac73 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OL}\cdot(\vec c-\vec a) &= \left(\overrightarrow{OH}+\frac29\vec c\right)\cdot(\vec c-\vec a)\\ &= \overrightarrow{OH}\cdot\vec c-\overrightarrow{OH}\cdot\vec a +\frac29(\vec c\cdot\vec c-\vec c\cdot\vec a)\\ &= \frac73-3+\frac29(6-3)\\ &=0 \end{aligned} $$

となる。

ゆえに $\overrightarrow{OL}$ は $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直である。したがって $\overrightarrow{OL}$ は平面 $ABC$ に垂直である。

しかも $L$ は平面 $ABC$ 上の点であるから、$L$ は $O$ から平面 $ABC$ に下した垂線の足、すなわち $K$ である。

よって

$$ \overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OH}+\frac29\vec c $$

であり、

$$ \overrightarrow{HK} =\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OH} =\frac29\vec c $$

となる。

したがって

$$ \overrightarrow{HK}\parallel \vec c $$

である。