トップ› 東京工業大学› 1966年› 理系第2問

東京工業大学 1966年理系第2問解説

方針・初手

与えられた2次方程式から解と係数の関係を用いて $\alpha, \beta$ と $p, q$ の関係式を導く。また、等比数列の収束条件から $\alpha, \beta$ の満たすべき不等式を立てる。これらの条件と、問題文で与えられている $p, q$ に関する不等式を組み合わせることで $\alpha, \beta$ の値を絞り込む。

解法1

2次方程式 $2x^2 - 2px + q = 0$ の2つの解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より $$ \alpha + \beta = p $$

$$ \alpha\beta = \frac{q}{2} $$ が成り立つ。

条件 $p > 1$ および $1 - 2p + 2q \geqq 0$ より、 $$ 2q \geqq 2p - 1 > 2 \cdot 1 - 1 = 1 $$ であるから、$q > \frac{1}{2} > 0$ である。

したがって、$p > 0$ かつ $q > 0$ となるため、$\alpha + \beta > 0$ かつ $\alpha\beta > 0$ が成り立ち、$\alpha > 0$ かつ $\beta > 0$ であることがわかる。

次に、2つの数列が収束するための条件を考える。

数列の一般項がそれぞれ $\left( \frac{\alpha}{2\beta} \right)^n$, $\left( \frac{4\beta^2}{\alpha} \right)^n$ であり、これらが収束する条件は公比が $-1$ より大きく $1$ 以下となることである。

$\alpha > 0, \beta > 0$ であるから公比はともに正となるため、収束条件は $$ 0 < \frac{\alpha}{2\beta} \leqq 1 $$

$$ 0 < \frac{4\beta^2}{\alpha} \leqq 1 $$ となる。

これらを整理すると、 $$ \alpha \leqq 2\beta $$

$$ 4\beta^2 \leqq \alpha $$ となり、あわせて以下の不等式を得る。 $$ 4\beta^2 \leqq \alpha \leqq 2\beta $$

この不等式において、両端の辺を比較すると $$ 4\beta^2 \leqq 2\beta $$

$$ 2\beta(2\beta - 1) \leqq 0 $$ $\beta > 0$ より、 $$ \beta \leqq \frac{1}{2} $$ となる。

また、与えられた条件 $1 - 2p + 2q \geqq 0$ に解と係数の関係を代入すると、 $$ 1 - 2(\alpha + \beta) + 2(2\alpha\beta) \geqq 0 $$

$$ 4\alpha\beta - 2\alpha - 2\beta + 1 \geqq 0 $$

$$ (2\alpha - 1)(2\beta - 1) \geqq 0 $$ と変形できる。

ここで、$\beta \leqq \frac{1}{2}$ であるため $2\beta - 1 \leqq 0$ である。以下のように場合分けを行う。

(i) $2\beta - 1 < 0$ すなわち $\beta < \frac{1}{2}$ のとき

$(2\alpha - 1)(2\beta - 1) \geqq 0$ を満たすには $2\alpha - 1 \leqq 0$ すなわち $\alpha \leqq \frac{1}{2}$ でなければならない。

このとき、$\alpha + \beta < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ となり、$p = \alpha + \beta > 1$ という条件に矛盾する。

(ii) $2\beta - 1 = 0$ すなわち $\beta = \frac{1}{2}$ のとき

このとき $(2\alpha - 1)(2\beta - 1) = 0 \geqq 0$ となり、不等式は常に成り立つ。

$\beta = \frac{1}{2}$ を $4\beta^2 \leqq \alpha \leqq 2\beta$ に代入すると、 $$ 4 \left( \frac{1}{2} \right)^2 \leqq \alpha \leqq 2 \left( \frac{1}{2} \right) $$

$$ 1 \leqq \alpha \leqq 1 $$ となり、$\alpha = 1$ が導かれる。

このとき $p = \alpha + \beta = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > 1$ であり、条件を満たす。

以上より、$\alpha = 1, \beta = \frac{1}{2}$ に定まる。

したがって、求める $p, q$ の値は、解と係数の関係より $$ p = \alpha + \beta = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

$$ q = 2\alpha\beta = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 $$ となる。

なお、このとき2次方程式は $2x^2 - 3x + 1 = 0$ となり、判別式 $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 > 0$ であるから、2つの実数解をもつという条件も満たしている。