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東京工業大学 1967年理系第6問解説

方針・初手

放物線 $y = -2x^2 + x + 1$ 上の点における接線の方程式を接点の $x$ 座標を $t$ として立式する。その後、その接線と放物線 $y = x^2$ を連立して得られる2次方程式の2つの解を $\alpha, \beta$ とおき、解と係数の関係を用いて $\beta - \alpha$ を $t$ で表す。面積の計算には $\frac{1}{6}$ 公式を用い、面積 $S$ を $t$ の関数として表して最小値を求める。

解法1

放物線 $y = -2x^2 + x + 1$ を $C_1$、放物線 $y = x^2$ を $C_2$ とする。

$y = -2x^2 + x + 1$ について、$y' = -4x + 1$ であるから、$C_1$ 上の点 $(t, -2t^2 + t + 1)$ における接線を $l$ とすると、その方程式は、

$$ y - (-2t^2 + t + 1) = (-4t + 1)(x - t) $$

整理すると、

$$ y = (-4t + 1)x + 2t^2 + 1 $$

接線 $l$ と放物線 $C_2$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$$ x^2 = (-4t + 1)x + 2t^2 + 1 $$

すなわち、

$$ x^2 + (4t - 1)x - (2t^2 + 1) = 0 $$

の解である。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$ \begin{aligned} D &= (4t - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \{-(2t^2 + 1)\} \\ &= 16t^2 - 8t + 1 + 8t^2 + 4 \\ &= 24t^2 - 8t + 5 \\ &= 24 \left( t - \frac{1}{6} \right)^2 + \frac{13}{3} \end{aligned} $$

すべての実数 $t$ について $D > 0$ であるから、接線 $l$ と放物線 $C_2$ は常に異なる2点で交わる。その交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とすると、解と係数の関係により、

$$ \alpha + \beta = 1 - 4t, \quad \alpha \beta = -(2t^2 + 1) $$

これより、交点の $x$ 座標の差 $\beta - \alpha$ の2乗は、

$$ \begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= (1 - 4t)^2 - 4\{-(2t^2 + 1)\} \\ &= 24t^2 - 8t + 5 \end{aligned} $$

$\beta > \alpha$ より、

$$ \beta - \alpha = \sqrt{24t^2 - 8t + 5} $$

接線 $l$ と放物線 $C_2$ で囲まれた部分の面積を $S$ とすると、$\alpha \leqq x \leqq \beta$ において接線 $l$ は $C_2$ の上方にあるため、

$$ S = \int_{\alpha}^{\beta} \{(-4t + 1)x + 2t^2 + 1 - x^2\} dx $$

$$ S = -\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx $$

$$ S = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 $$

となる。したがって、$S$ は $t$ を用いて次のように表される。

$$ S = \frac{1}{6} (24t^2 - 8t + 5)^{\frac{3}{2}} $$

$S$ が最小となるのは、根号の中身である $24t^2 - 8t + 5$ が最小となるときである。先の判別式の計算より $24t^2 - 8t + 5 = 24 \left( t - \frac{1}{6} \right)^2 + \frac{13}{3}$ であるから、$t = \frac{1}{6}$ のとき、最小値 $\frac{13}{3}$ をとる。

よって、$S$ の最小値は、

$$ S = \frac{1}{6} \left( \frac{13}{3} \right)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{13\sqrt{13}}{3\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{39}}{54} $$

解説

放物線と直線で囲まれた面積を求める際の定石である「$\frac{1}{6}$ 公式」と、解と係数の関係を組み合わせる典型的な問題である。交点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ を直接解の公式で求めようとすると計算が非常に煩雑になるが、面積が $\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ と表せることを見越し、$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ を用いて処理することで、計算量を大幅に削減しつつ安全に正答へたどり着くことができる。