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東京工業大学 1965年理系第6問解説

方針・初手

放物線外の点から引いた2本の接線の方程式を求め、囲まれた部分の面積 $S(t)$ を $t$ の式で表すことから始めます。面積は、放物線と2本の接線で囲まれた図形なので、接点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とおき、いわゆる「 $\frac{1}{12}$ 公式」の形に帰着させて計算を効率化します。最後に、得られた式を $\sqrt{t}$ で割った関数の最小値を微積分を用いて求めます。

解法1

放物線 $y = x^2$ について、$y' = 2x$ である。放物線上の点 $(k, k^2)$ における接線の方程式は、

$$ y - k^2 = 2k(x - k) \iff y = 2kx - k^2 $$

この接線が点 $(t, -1)$ を通る条件は、

$$ -1 = 2kt - k^2 \iff k^2 - 2tk - 1 = 0 $$

この $k$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると、$\frac{D}{4} = t^2 + 1 > 0$ となり、異なる2つの実数解をもつ。これらの解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とすると、これらが2本の接線の接点の $x$ 座標となる。解の公式より、

$$ \alpha = t - \sqrt{t^2 + 1}, \quad \beta = t + \sqrt{t^2 + 1} $$

であり、また解と係数の関係から、

$$ \alpha + \beta = 2t $$

が成り立つ。 2本の接線 $y = 2\alpha x - \alpha^2$ と $y = 2\beta x - \beta^2$ の交点の $x$ 座標は、

$$ 2\alpha x - \alpha^2 = 2\beta x - \beta^2 \implies 2(\alpha - \beta)x = (\alpha - \beta)(\alpha + \beta) $$

$\alpha \neq \beta$ より $x = \frac{\alpha + \beta}{2} = t$ となる。したがって、求める面積 $S(t)$ は、

$$ \begin{aligned} S(t) &= \int_{\alpha}^{t} \left\{ x^2 - (2\alpha x - \alpha^2) \right\} dx + \int_{t}^{\beta} \left\{ x^2 - (2\beta x - \beta^2) \right\} dx \\ &= \int_{\alpha}^{t} (x - \alpha)^2 dx + \int_{t}^{\beta} (x - \beta)^2 dx \\ &= \left[ \frac{(x - \alpha)^3}{3} \right]_{\alpha}^{t} + \left[ \frac{(x - \beta)^3}{3} \right]_{t}^{\beta} \\ &= \frac{(t - \alpha)^3}{3} - \frac{(t - \beta)^3}{3} \end{aligned} $$

ここで、$t = \frac{\alpha + \beta}{2}$ より、 $t - \alpha = \frac{\beta - \alpha}{2}, \quad t - \beta = -\frac{\beta - \alpha}{2}$ であるから、

$$ S(t) = \frac{1}{3} \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 - \frac{1}{3} \left( -\frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 = \frac{(\beta - \alpha)^3}{12} $$

$\beta - \alpha = 2\sqrt{t^2 + 1}$ を代入して、

$$ S(t) = \frac{1}{12} \left( 2\sqrt{t^2 + 1} \right)^3 = \frac{2}{3} (t^2 + 1)^{\frac{3}{2}} $$

次に、$\frac{S(t)}{\sqrt{t}}$ の最小値を求める。 $t > 0$ であるため、$\left( \frac{S(t)}{\sqrt{t}} \right)^2$ が最小となるとき、$\frac{S(t)}{\sqrt{t}}$ も最小となる。

$$ \left( \frac{S(t)}{\sqrt{t}} \right)^2 = \frac{4}{9} \frac{(t^2 + 1)^3}{t} $$

ここで、$g(t) = \frac{(t^2 + 1)^3}{t}$ とおき、$t > 0$ における増減を調べる。

$$ \begin{aligned} g'(t) &= \frac{3(t^2 + 1)^2 \cdot 2t \cdot t - (t^2 + 1)^3 \cdot 1}{t^2} \\ &= \frac{(t^2 + 1)^2 \left\{ 6t^2 - (t^2 + 1) \right\}}{t^2} \\ &= \frac{(t^2 + 1)^2 (5t^2 - 1)}{t^2} \end{aligned} $$

$t > 0$ において $g'(t) = 0$ となるのは $t = \frac{1}{\sqrt{5}}$ のときである。導関数 $g'(t)$ の符号は $5t^2 - 1$ の符号と一致するため、 $0 < t < \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき $g'(t) < 0$ $t > \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき $g'(t) > 0$ となる。

したがって、$g(t)$ は $t = \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき極小かつ最小となる。このときの $g(t)$ の値は、

$$ g\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{\left( \frac{1}{5} + 1 \right)^3}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{\left(\frac{6}{5}\right)^3}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{216\sqrt{5}}{125} $$

よって、$\frac{S(t)}{\sqrt{t}}$ の最小値は、

$$ \sqrt{\frac{4}{9} \cdot \frac{216\sqrt{5}}{125}} = \sqrt{\frac{96\sqrt{5}}{125}} = \frac{4\sqrt{6\sqrt{5}}}{5\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{6}}{5\sqrt[4]{5}} $$

解説

放物線とその2本の接線で囲まれた面積を求める典型的な問題です。面積 $S(t) = \frac{(\beta - \alpha)^3}{12}$ は頻出の形であり、接点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ を求める2次方程式の「解と係数の関係」や「解の公式」を利用することで計算を大幅にショートカットできます。また、最後に得られた関数をそのまま微分すると計算が煩雑になりやすいため、正の値をとることを活かして「全体を2乗した関数の最小値を求める」という工夫をすると計算ミスを防ぎやすくなります。