トップ› 大阪大学› 1962年› 文系第6問

大阪大学 1962年文系第6問解説

方針・初手

放物線上の点における接線の方程式を立て、それが点 $P(a, 0)$ を通る条件から、接点の $x$ 座標を求める2次方程式を導く。放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積は、2つの接点の $x$ 座標と交点 $P$ の $x$ 座標を境にして積分区間を分割し、定積分を計算して求める。

解法1

$y = x^2 + 1$ を $x$ で微分すると、$y' = 2x$ となる。

放物線上の点 $(t, t^2+1)$ における接線の方程式は、

$$ y - (t^2+1) = 2t(x - t) $$

整理すると、

$$ y = 2tx - t^2 + 1 $$

この接線が点 $P(a, 0)$ を通るので、代入して、

$$ 0 = 2at - t^2 + 1 $$

$$ t^2 - 2at - 1 = 0 $$

この $t$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = (-a)^2 - 1 \cdot (-1) = a^2 + 1 $$

実数 $a$ に対して常に $a^2 + 1 > 0$ であるから、この2次方程式は異なる2つの実数解をもつ。したがって、点 $P(a, 0)$ から放物線へは常に2本の接線が引ける。

2つの接点 $S, T$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とすると、$\alpha, \beta$ は方程式 $t^2 - 2at - 1 = 0$ の2つの解である。解と係数の関係より、以下の式が成り立つ。

$$ \alpha + \beta = 2a $$

$$ \alpha\beta = -1 $$

このとき、$a = \frac{\alpha+\beta}{2}$ であるから、2本の接線の交点 $P$ の $x$ 座標は、2つの接点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ の中点となる。

接点 $S$ における接線の方程式は $y = 2\alpha x - \alpha^2 + 1$、接点 $T$ における接線の方程式は $y = 2\beta x - \beta^2 + 1$ である。

求める面積を $U$ とすると、$U$ は区間 $\alpha \leqq x \leqq a$ では放物線と $S$ での接線で囲まれ、区間 $a \leqq x \leqq \beta$ では放物線と $T$ での接線で囲まれた面積の和である。

$$ U = \int_{\alpha}^{a} \left\{ (x^2+1) - (2\alpha x - \alpha^2 + 1) \right\} dx + \int_{a}^{\beta} \left\{ (x^2+1) - (2\beta x - \beta^2 + 1) \right\} dx $$

$$ U = \int_{\alpha}^{a} (x-\alpha)^2 dx + \int_{a}^{\beta} (x-\beta)^2 dx $$

定積分を計算すると、

$$ U = \left[ \frac{(x-\alpha)^3}{3} \right]_{\alpha}^{a} + \left[ \frac{(x-\beta)^3}{3} \right]_{a}^{\beta} $$

$$ U = \frac{(a-\alpha)^3}{3} - \frac{(a-\beta)^3}{3} $$

$$ U = \frac{(a-\alpha)^3 + (\beta-a)^3}{3} $$

ここで、$a = \frac{\alpha+\beta}{2}$ より、

$$ a - \alpha = \frac{\alpha+\beta}{2} - \alpha = \frac{\beta-\alpha}{2} $$

$$ \beta - a = \beta - \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\beta-\alpha}{2} $$

これを代入して、

$$ U = \frac{1}{3} \left\{ \left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)^3 + \left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)^3 \right\} $$

$$ U = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{(\beta-\alpha)^3}{8} = \frac{(\beta-\alpha)^3}{12} $$

また、解と係数の関係から導いた式を用いて $(\beta-\alpha)^2$ を $a$ で表すと、

$$ (\beta-\alpha)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = (2a)^2 - 4(-1) = 4a^2 + 4 = 4(a^2+1) $$

$\beta > \alpha$ より $\beta-\alpha > 0$ であるから、

$$ \beta-\alpha = \sqrt{4(a^2+1)} = 2\sqrt{a^2+1} $$

これを $U$ の式に代入する。

$$ U = \frac{\left(2\sqrt{a^2+1}\right)^3}{12} = \frac{8(a^2+1)\sqrt{a^2+1}}{12} $$

$$ U = \frac{2}{3}(a^2+1)\sqrt{a^2+1} $$

解説

放物線とその外部の点から引いた2本の接線で囲まれた図形の面積を求める典型問題である。

この設定において、2接点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ と交点の $x$ 座標 $a$ の間に $a = \frac{\alpha+\beta}{2}$ が成り立つこと、およびその面積が $\frac{|k|}{12}(\beta-\alpha)^3$ （$k$ は $x^2$ の係数）になることはよく知られた性質である。計算の見通しを良くするため、結果を予測した上で立式・変形を行うと計算ミスを防ぎやすい。

記述式の解答においては、公式を無条件に用いるのではなく、積分計算の過程（$(x-\alpha)^2$ の積分となることなど）を明示して丁寧に導出することが望ましい。