トップ› 東京工業大学› 1973年› 理系第4問

東京工業大学 1973年理系第4問解説

方針・初手

それぞれの関数の極大値と極小値を求め、それらが等しいという条件から連立方程式を立てる。極値をとる $x$ の値を求める際に無理式が現れるが、式の複雑化を避けるため、$f(x)$ が極値をとる $x$ 座標を文字で置き換えて計算すると見通しが良くなる。

また、3次関数の極大値と極小値の差に注目し、計算量を減らす工夫も有効である。

解法1

関数 $g(x) = x^3 + ax^2 + b$ を微分すると

$$ g'(x) = 3x^2 + 2ax = x(3x + 2a) $$

$g'(x) = 0$ とすると、$x = -\frac{2a}{3}, 0$ である。条件より $a > 0$ であるから $-\frac{2a}{3} < 0$ となり、$g(x)$ の増減表を考えると、 $x = -\frac{2a}{3}$ で極大値、$x = 0$ で極小値をとる。極大値 $M_g$ および極小値 $m_g$ は

$$ M_g = g\left(-\frac{2a}{3}\right) = \left(-\frac{2a}{3}\right)^3 + a\left(-\frac{2a}{3}\right)^2 + b = -\frac{8a^3}{27} + \frac{4a^3}{9} + b = \frac{4a^3}{27} + b $$

$$ m_g = g(0) = b $$

次に関数 $f(x) = x^3 + px + q$ を微分すると

$$ f'(x) = 3x^2 + p $$

$f(x)$ が極値をもつためには $f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつ必要があるため、$p < 0$ である。ここで、$\alpha = \sqrt{-\frac{p}{3}}$ とおくと、$\alpha > 0$ であり、$f'(x) = 3(x+\alpha)(x-\alpha)$ と因数分解できる。 $f(x)$ の増減表を考えると、$x = -\alpha$ で極大値、$x = \alpha$ で極小値をとる。また、$\alpha^2 = -\frac{p}{3}$ より $p = -3\alpha^2$ であるから、極大値 $M_f$ および極小値 $m_f$ は

$$ M_f = f(-\alpha) = (-\alpha)^3 + p(-\alpha) + q = -\alpha^3 - (-3\alpha^2)\alpha + q = 2\alpha^3 + q $$

$$ m_f = f(\alpha) = \alpha^3 + p\alpha + q = \alpha^3 + (-3\alpha^2)\alpha + q = -2\alpha^3 + q $$

条件より $M_f = M_g$ かつ $m_f = m_g$ であるから

$$ \begin{cases} 2\alpha^3 + q = \frac{4a^3}{27} + b \\ -2\alpha^3 + q = b \end{cases} $$

上の2式の辺々を引くと

$$ 4\alpha^3 = \frac{4a^3}{27} $$

$$ \alpha^3 = \frac{a^3}{27} = \left(\frac{a}{3}\right)^3 $$

$\alpha$ および $a$ は実数であるから

$$ \alpha = \frac{a}{3} $$

$\alpha = \sqrt{-\frac{p}{3}}$ であったから、$\sqrt{-\frac{p}{3}} = \frac{a}{3}$ となる。両辺を2乗して

$$ -\frac{p}{3} = \frac{a^2}{9} $$

$$ p = -\frac{a^2}{3} $$

（これは $p < 0$ を満たす。）また、$-2\alpha^3 + q = b$ に $\alpha = \frac{a}{3}$ を代入して

$$ -2\left(\frac{a}{3}\right)^3 + q = b $$

$$ q = \frac{2}{27}a^3 + b $$

解法2

3次関数において、導関数が $y' = 3(x-\alpha)(x-\beta)$ （$\alpha < \beta$）と表されるとき、極大値 $M$ と極小値 $m$ の差は、積分を用いて次のように計算できる。

$$ M - m = \int_{\alpha}^{\beta} |y'| dx = \int_{\alpha}^{\beta} -3(x-\alpha)(x-\beta) dx = \frac{3}{6}(\beta - \alpha)^3 = \frac{1}{2}(\beta - \alpha)^3 $$

$g(x)$ について、$g'(x) = 3x\left(x + \frac{2a}{3}\right)$ より、極値をとる $x$ 座標は $x = -\frac{2a}{3}, 0$ であるから、極大値と極小値の差は

$$ M_g - m_g = \frac{1}{2}\left(0 - \left(-\frac{2a}{3}\right)\right)^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{8a^3}{27} = \frac{4a^3}{27} $$

$f(x)$ について、$f'(x) = 3x^2 + p$ より、極値をもつ条件は $p < 0$ である。極値をとる $x$ 座標は $x = \pm\sqrt{-\frac{p}{3}}$ であるから、極大値と極小値の差は

$$ M_f - m_f = \frac{1}{2}\left(\sqrt{-\frac{p}{3}} - \left(-\sqrt{-\frac{p}{3}}\right)\right)^3 = \frac{1}{2} \left(2\sqrt{-\frac{p}{3}}\right)^3 = 4\left(-\frac{p}{3}\right)\sqrt{-\frac{p}{3}} $$

$f(x)$ と $g(x)$ で極大値と極小値の差が等しいので

$$ 4\left(-\frac{p}{3}\right)\sqrt{-\frac{p}{3}} = \frac{4a^3}{27} $$

$$ \left(\sqrt{-\frac{p}{3}}\right)^3 = \left(\frac{a}{3}\right)^3 $$

実数解は $\sqrt{-\frac{p}{3}} = \frac{a}{3}$ に限られる。両辺を2乗して

$$ p = -\frac{a^2}{3} $$

このとき、$f(x) = x^3 - \frac{a^2}{3}x + q$ であり、$f'(x) = 3\left(x + \frac{a}{3}\right)\left(x - \frac{a}{3}\right)$ より、極小値をとる $x$ 座標は $x = \frac{a}{3}$ である。 $f(x)$ の極小値と $g(x)$ の極小値が等しいので

$$ f\left(\frac{a}{3}\right) = g(0) $$

$$ \left(\frac{a}{3}\right)^3 - \frac{a^2}{3} \cdot \frac{a}{3} + q = b $$

$$ \frac{a^3}{27} - \frac{a^3}{9} + q = b $$

$$ q = \frac{2}{27}a^3 + b $$

解説

2つの3次関数の極値を直接比較する標準的な問題である。素直に微分して極値を求める方針で問題なく解けるが、$f'(x) = 0$ の解に無理式が含まれるため、そのまま代入すると計算ミスを誘発しやすい。解法1のように文字 $\alpha$ で置き換えて連立方程式を立てるか、解法2のように「極値の差」を利用すると、計算を大幅に圧縮できる。特に「3次関数の極値の差」は、$\frac{1}{2}(\beta - \alpha)^3$ （$x^3$ の係数が $1$ の場合）という公式として定着させておくと、強力な計算のショートカットとなる。