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東京工業大学 1984年理系第3問解説

方針・初手

点 $P_1$ と $P_2$ の座標をそれぞれパラメータを用いて設定し、接線の方程式を立式して条件を数式化する。面積は座標を用いた三角形の面積公式を利用し、パラメータの比についての式に帰着させる。

解法1

$P_1$ は $C_1$ 上の点であり、$x>0$ であるから、$P_1 \left( t, \frac{1}{t} \right)$ ($t>0$) とおける。 $P_2$ は $C_2$ 上の点であり、$x<0$ であるから、$P_2 \left( s, -\frac{1}{s} \right)$ ($s<0$) とおける。原点を $O$ とすると、$\triangle OP_1P_2$ の面積 $S$ は次のように表される。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \left| t \left( -\frac{1}{s} \right) - s \cdot \frac{1}{t} \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| -\frac{t}{s} - \frac{s}{t} \right| \end{aligned} $$

(1)

直線 $l$ が $C_1$ または $C_2$ の接線になる場合をそれぞれ考える。

(i)

$l$ が $C_1$ の接線であるとき

$C_1$ の方程式 $y=\frac{1}{x}$ を微分すると $y'=-\frac{1}{x^2}$ となるため、点 $P_1 \left( t, \frac{1}{t} \right)$ における接線の方程式は以下のようになる。

$$ y - \frac{1}{t} = -\frac{1}{t^2}(x - t) $$

$$ y = -\frac{1}{t^2}x + \frac{2}{t} $$

この直線 $l$ 上に点 $P_2 \left( s, -\frac{1}{s} \right)$ があるため、代入して整理する。

$$ -\frac{1}{s} = -\frac{s}{t^2} + \frac{2}{t} $$

両辺に $st^2$ を掛けると、

$$ -t^2 = -s^2 + 2st $$

$$ s^2 - 2st - t^2 = 0 $$

両辺を $t^2$ ($t \neq 0$) で割ると、

$$ \left( \frac{s}{t} \right)^2 - 2\left( \frac{s}{t} \right) - 1 = 0 $$

これを $\frac{s}{t}$ についての二次方程式とみて解くと、

$$ \frac{s}{t} = 1 \pm \sqrt{2} $$

ここで、$s<0, t>0$ より $\frac{s}{t} < 0$ であるから、

$$ \frac{s}{t} = 1 - \sqrt{2} $$

このとき、$\frac{t}{s} = \frac{1}{1-\sqrt{2}} = -(1+\sqrt{2})$ となる。これを面積 $S$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \left| -\frac{t}{s} - \frac{s}{t} \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| (1+\sqrt{2}) - (1-\sqrt{2}) \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| 2\sqrt{2} \right| = \sqrt{2} \end{aligned} $$

(ii)

$l$ が $C_2$ の接線であるとき

$C_2$ の方程式 $y=-\frac{1}{x}$ を微分すると $y'=\frac{1}{x^2}$ となるため、点 $P_2 \left( s, -\frac{1}{s} \right)$ における接線の方程式は以下のようになる。

$$ y - \left( -\frac{1}{s} \right) = \frac{1}{s^2}(x - s) $$

$$ y = \frac{1}{s^2}x - \frac{2}{s} $$

この直線 $l$ 上に点 $P_1 \left( t, \frac{1}{t} \right)$ があるため、代入して整理する。

$$ \frac{1}{t} = \frac{t}{s^2} - \frac{2}{s} $$

両辺に $ts^2$ を掛けると、

$$ s^2 = t^2 - 2st $$

$$ t^2 - 2st - s^2 = 0 $$

両辺を $s^2$ ($s \neq 0$) で割ると、

$$ \left( \frac{t}{s} \right)^2 - 2\left( \frac{t}{s} \right) - 1 = 0 $$

これを $\frac{t}{s}$ についての二次方程式とみて解くと、

$$ \frac{t}{s} = 1 \pm \sqrt{2} $$

ここで、$s<0, t>0$ より $\frac{t}{s} < 0$ であるから、

$$ \frac{t}{s} = 1 - \sqrt{2} $$

このとき、$\frac{s}{t} = \frac{1}{1-\sqrt{2}} = -(1+\sqrt{2})$ となる。これを面積 $S$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \left| -\frac{t}{s} - \frac{s}{t} \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| -(1-\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2}) \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| 2\sqrt{2} \right| = \sqrt{2} \end{aligned} $$

（i）, （ii）いずれの場合も面積 $S$ は $\sqrt{2}$ となり、一定であることが示された。

(2)

(1) の結果より、$\triangle OP_1P_2$ の面積が $\sqrt{2}$ に等しいという条件から式を立てる。

$$ \frac{1}{2} \left| -\frac{t}{s} - \frac{s}{t} \right| = \sqrt{2} $$

ここで $k = -\frac{t}{s}$ とおくと、$t>0, s<0$ より $k>0$ である。このとき $-\frac{s}{t} = \frac{1}{k}$ となる。絶対値の中身は $k + \frac{1}{k}$ となり、これは正であるため絶対値記号はそのまま外すことができる。

$$ \frac{1}{2} \left( k + \frac{1}{k} \right) = \sqrt{2} $$

両辺に $2k$ を掛けて整理する。

$$ k^2 - 2\sqrt{2}k + 1 = 0 $$

この二次方程式を解くと、

$$ k = \sqrt{2} \pm 1 $$

したがって、$k = \sqrt{2} + 1$ または $k = \sqrt{2} - 1$ である。

（ア） $k = \sqrt{2} + 1$ のとき

$-\frac{t}{s} = \sqrt{2} + 1$ より $\frac{s}{t} = -\frac{1}{\sqrt{2}+1} = 1 - \sqrt{2}$ である。このとき、

$$ \left( \frac{s}{t} \right)^2 - 2\left( \frac{s}{t} \right) - 1 = (1-\sqrt{2})^2 - 2(1-\sqrt{2}) - 1 = (3-2\sqrt{2}) - (2-2\sqrt{2}) - 1 = 0 $$

が成り立つ。両辺に $t^2$ を掛けることで $s^2 - 2st - t^2 = 0$ を得る。これは (1) の（i）で示したように、$C_1$ の $P_1$ における接線が $P_2$ を通るための条件と同値である。よって、$l$ は $C_1$ の接線になる。

（イ） $k = \sqrt{2} - 1$ のとき

$-\frac{t}{s} = \sqrt{2} - 1$ より $\frac{t}{s} = 1 - \sqrt{2}$ である。このとき、

$$ \left( \frac{t}{s} \right)^2 - 2\left( \frac{t}{s} \right) - 1 = (1-\sqrt{2})^2 - 2(1-\sqrt{2}) - 1 = 0 $$

が成り立つ。両辺に $s^2$ を掛けることで $t^2 - 2st - s^2 = 0$ を得る。これは (1) の（ii）で示したように、$C_2$ の $P_2$ における接線が $P_1$ を通るための条件と同値である。よって、$l$ は $C_2$ の接線になる。

（ア）, （イ）の結果より、面積が $\sqrt{2}$ に等しいとき、$l$ は $C_1$ または $C_2$ の接線になることが示された。

解説

双曲線の接線と三角形の面積に関する問題。 $P_1, P_2$ の座標をパラメータで設定し、接線の条件や面積の公式を計算していくことで完答できる。途中で現れる $s$ と $t$ の同次式（$s^2 - 2st - t^2 = 0$ など）を処理する際、両辺を $t^2$ などで割り、$\frac{s}{t}$ などの比を一つの変数とみなして解く手法が非常に有効である。これにより、見通しよく計算を進めることができる。 (2) は (1) の逆を辿る論理構成となっており、(1) で整理した式を利用することでスムーズに証明できる。