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東京工業大学 1989年理系第1問解説

方針・初手

接点 $Q, R$ の $x$ 座標を文字でおき、接線の方程式から点 $P$ の座標との関係式を導く。得られた関係式を「解と係数の関係」を用いて処理するのが定石である。 (1) では、線分 $QR$ の中点の座標 $(X, Y)$ を点 $P$ の座標 $(a, b)$ で表し、$a, b$ について解き直してから与えられた不等式に代入する。 (2) では、三角形 $PQR$ の面積を接点の $x$ 座標を用いて表し、さらに $(a, b)$ の式に書き換えて方程式を立てる。

解法1

(1)

点 $Q, R$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とする。 $y = x^2$ より $y' = 2x$ であるから、点 $Q(\alpha, \alpha^2)$ における接線の方程式は

$$ y - \alpha^2 = 2\alpha(x - \alpha) \iff y = 2\alpha x - \alpha^2 $$

点 $R(\beta, \beta^2)$ における接線の方程式も同様に

$$ y = 2\beta x - \beta^2 $$

点 $P$ の座標を $(a, b)$ とすると、これら2本の接線は点 $P$ を通るため、以下の式が成り立つ。

$$ \begin{cases} b = 2a\alpha - \alpha^2 \\ b = 2a\beta - \beta^2 \end{cases} $$

これは、$\alpha, \beta$ が $t$ についての2次方程式 $t^2 - 2at + b = 0$ の異なる2つの実数解であることを示している。異なる2つの実数解をもつための条件として、判別式を $D$ とすると

$$ \frac{D}{4} = a^2 - b > 0 \iff b < a^2 $$

また、解と係数の関係より

$$ \alpha + \beta = 2a, \quad \alpha\beta = b $$

線分 $QR$ の中点を $M(X, Y)$ とおくと

$$ X = \frac{\alpha + \beta}{2} = a $$

$$ Y = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{2} = \frac{4a^2 - 2b}{2} = 2a^2 - b $$

よって、$a, b$ を $X, Y$ を用いて表すと

$$ a = X, \quad b = 2X^2 - Y $$

点 $P(a, b)$ が満たす条件は、問題文より

$$ \begin{cases} b \leqq a - 1 \\ b \leqq -a + 1 \\ -1 \leqq b \end{cases} $$

これらに $a = X, b = 2X^2 - Y$ を代入して整理すると

$$ 2X^2 - Y \leqq X - 1 \iff Y \geqq 2X^2 - X + 1 $$

$$ 2X^2 - Y \leqq -X + 1 \iff Y \geqq 2X^2 + X - 1 $$

$$ -1 \leqq 2X^2 - Y \iff Y \leqq 2X^2 + 1 $$

なお、点 $P(a,b)$ の存在範囲は $b \leqq 0$ を満たすため、常に $b \leqq 0 \leqq a^2$ (等号は $a=b=0$ だが、領域内の点 $(0, b)$ では $b \leqq -1$ なので等号成立しない) となり、接線が引ける条件 $b < a^2$ は自動的に満たされる。以上より、点 $M(X, Y)$ の動く範囲は、$xy$ 平面上で $X, Y$ を $x, y$ に置き換えた以下の連立不等式が表す領域である。

$$ \begin{cases} y \geqq 2x^2 - x + 1 \\ y \geqq 2x^2 + x - 1 \\ y \leqq 2x^2 + 1 \end{cases} $$

境界となる3つの放物線の交点を求める。 $y = 2x^2 - x + 1$ と $y = 2x^2 + x - 1$ の交点は

$$ 2x^2 - x + 1 = 2x^2 + x - 1 \iff 2x = 2 \iff x = 1 \quad (y = 2) $$

$y = 2x^2 - x + 1$ と $y = 2x^2 + 1$ の交点は

$$ 2x^2 - x + 1 = 2x^2 + 1 \iff x = 0 \quad (y = 1) $$

$y = 2x^2 + x - 1$ と $y = 2x^2 + 1$ の交点は

$$ 2x^2 + x - 1 = 2x^2 + 1 \iff x = 2 \quad (y = 9) $$

動く範囲は、3点 $(0, 1), (1, 2), (2, 9)$ を頂点とする曲線の囲む領域（境界線を含む）である。

(2)

三角形 $PQR$ の面積を $S$ とする。ベクトルを用いて面積を計算する。

$$ \overrightarrow{PQ} = (\alpha - a, \alpha^2 - b) $$

$$ \overrightarrow{PR} = (\beta - a, \beta^2 - b) $$

ここで、$a = \frac{\alpha + \beta}{2}, b = \alpha\beta$ を用いて成分を変形する。

$$ \alpha - a = \alpha - \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\alpha - \beta}{2} $$

$$ \alpha^2 - b = \alpha^2 - \alpha\beta = \alpha(\alpha - \beta) $$

同様に、

$$ \beta - a = \frac{\beta - \alpha}{2} $$

$$ \beta^2 - b = \beta(\beta - \alpha) $$

したがって、面積 $S$ は

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} |(\alpha - a)(\beta^2 - b) - (\beta - a)(\alpha^2 - b)| \\ &= \frac{1}{2} \left| \frac{\alpha - \beta}{2} \cdot \beta(\beta - \alpha) - \frac{\beta - \alpha}{2} \cdot \alpha(\alpha - \beta) \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| -\frac{\beta}{2}(\alpha - \beta)^2 + \frac{\alpha}{2}(\alpha - \beta)^2 \right| \\ &= \frac{1}{4} |\alpha - \beta|^3 \end{aligned} $$

ここで、解と係数の関係より

$$ (\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 4a^2 - 4b = 4(a^2 - b) $$

$\alpha < \beta$ より $\beta - \alpha > 0$ であるから

$$ |\alpha - \beta|^3 = (\beta - \alpha)^3 = \left( \sqrt{4(a^2 - b)} \right)^3 = 8(a^2 - b)^{\frac{3}{2}} $$

よって、

$$ S = \frac{1}{4} \cdot 8(a^2 - b)^{\frac{3}{2}} = 2(a^2 - b)^{\frac{3}{2}} $$

条件より $S = 2$ であるから、

$$ 2(a^2 - b)^{\frac{3}{2}} = 2 \iff (a^2 - b)^{\frac{3}{2}} = 1 \iff a^2 - b = 1 $$

これを $b$ について解くと

$$ b = a^2 - 1 $$

これは点 $P(a, b)$ が放物線 $y = x^2 - 1$ 上にあることを示している。このとき、条件 $b < a^2$ （すなわち $a^2 - b > 0$）は $1 > 0$ となり満たされる。

解説

放物線外の点から引いた2本の接線に関する典型問題である。接線の式から接点の $x$ 座標についての2次方程式を作り、解と係数の関係を利用するアプローチは極めて汎用性が高い。特に (2) の「放物線の2接線と接点を結ぶ弦で囲まれた三角形の面積」は $\frac{1}{4}(\beta - \alpha)^3$ （$x^2$ の係数が $1$ の場合）となることが知られており、計算の検算としても有用である。