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東京工業大学 2013年理系第3問解説

方針・初手

方程式 $e^x - x^e = k \ (x > 0)$ の実数解の個数は、関数 $f(x) = e^x - x^e \ (x > 0)$ のグラフと直線 $y = k$ の共有点の個数と一致する。したがって、$f(x)$ の導関数を求めて増減を調べ、グラフの概形を描くことで共有点の個数を視覚的に分類する。

解法1

関数 $f(x) = e^x - x^e \ (x > 0)$ とおく。$f(x)$ を微分すると、

$$ f'(x) = e^x - e x^{e-1} $$

$f'(x)$ の符号を調べる。$x > 0$ において $e^x > 0, \ e x^{e-1} > 0$ であるから、$f'(x) > 0$ となる条件は以下の通り同値変形できる。

$$ e^x > e x^{e-1} $$

$$ e^{x-1} > x^{e-1} $$

両辺は正であるから、底 $e$ の自然対数をとると、

$$ x - 1 > (e-1) \log x $$

$$ x - 1 - (e-1) \log x > 0 $$

ここで、新たな関数 $g(x) = x - 1 - (e-1) \log x \ (x > 0)$ を定義し、この増減を調べる。

$$ g'(x) = 1 - \frac{e-1}{x} = \frac{x - (e-1)}{x} $$

$g'(x) = 0$ とすると $x = e-1$ である。$g(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$e-1$	$\cdots$
$g'(x)$		$-$	$0$	$+$
$g(x)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

ここで $e \approx 2.718$ より $1 < e-1 < e$ であり、

$$ g(1) = 1 - 1 - (e-1) \log 1 = 0 $$

$$ g(e) = e - 1 - (e-1) \log e = 0 $$

となる。増減表と $g(1)=g(e)=0$ であることから、$g(x)$ の符号は以下のように分かる。

$0 < x < 1$ のとき、$g(x) > 0$
$1 < x < e$ のとき、$g(x) < 0$
$x > e$ のとき、$g(x) > 0$

$f'(x)$ の符号は $g(x)$ の符号と一致するため、$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$e$	$\cdots$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$(1)$	$\nearrow$	$e-1$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$

次に、区間の両端における $f(x)$ の極限を調べる。

$$ \lim_{x \to +0} f(x) = e^0 - 0^e = 1 $$

$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} e^x \left( 1 - \frac{x^e}{e^x} \right) = \infty $$

（ここで $\lim_{x \to \infty} \frac{x^e}{e^x} = 0$ を用いた）

以上より、$y = f(x)$ のグラフは点 $(0, 1)$ に白丸で近づき、$x=1$ で極大値 $e-1$、$x=e$ で極小値 $0$ をとり、その後単調に増加して無限大に発散する概形となる。

方程式の異なる正の解の個数は、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = k$ の共有点の個数に等しいため、定数 $k$ の値によって場合分けを行う。定義域が $x > 0$ であり $y$ 軸上の点を含まないことに注意して個数を数える。

（i） $k < 0$ のとき、0個
（ii） $k = 0$ のとき、1個
（iii） $0 < k \le 1$ のとき、2個
（iv） $1 < k < e-1$ のとき、3個
（v） $k = e-1$ のとき、2個
（vi） $k > e-1$ のとき、1個

解説

関数 $f(x) = e^x - x^e$ の導関数 $f'(x) = 0$ の解を求める部分が最大の難所である。方程式 $e^x - e x^{e-1} = 0$ をそのまま解こうとすると行き詰まるため、両辺を比較して対数をとり、新しい関数 $g(x) = x - 1 - (e-1)\log x$ を設定してその増減を調べるという「二段構えの微分」が必要になる。

また、端点 $x \to +0$ での極限値が $1$ となるが、定義域が $x > 0$ であるため $x=0$ は含まれない（グラフ上では白丸になる）。この影響で、境界値 $k=1$ のときの共有点の個数は $3$ 個ではなく $2$ 個となる点に注意が必要である。