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東京大学 2018年理系第4問解説

方針・初手

$f(x) = x^3 - 3a^2x$ の増減を調べ、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=b$ の共有点の $x$ 座標として方程式の解を捉える。条件1は極値と $b$ の大小関係から立式する。条件2は、3つの交点のうち中央の交点の $x$ 座標 $\beta$ の位置に関する条件である。$\beta$ が存在する区間における関数 $f(x)$ の単調性に着目し、$x$ の大小関係を $y$ の大小関係に変換して不等式を導く。

解法1

$f(x) = x^3 - 3a^2x$ を $x$ について微分すると、

$$ f'(x) = 3x^2 - 3a^2 = 3(x-a)(x+a) $$

$a > 0$ であるから、$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-a$	$\cdots$	$a$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

極大値は $f(-a) = 2a^3$、極小値は $f(a) = -2a^3$ である。

(i) 条件1について

方程式 $f(x) = b$ が相異なる3実数解をもつための条件は、直線 $y=b$ が曲線 $y=f(x)$ の極小値と極大値の間にあることである。すなわち、

$$ -2a^3 < b < 2a^3 $$

(ii) 条件2について

このとき、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=b$ の3つの交点の $x$ 座標 $\alpha, \beta, \gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$) は、増減表の各区間に1つずつ存在し、

$$ \alpha < -a < \beta < a < \gamma $$

を満たす。

$\beta > 1$ となるためには、まず $\beta < a$ であることから $1 < a$、すなわち $a > 1$ が必要である。

さらに、$a > 1$ のとき、$1$ は $-a < x < a$ の範囲に含まれる。この区間において $f(x)$ は単調に減少するため、$x$ 座標における $\beta > 1$ という大小関係は、$y$ 座標における不等式 $f(\beta) < f(1)$ と同値になる。

$f(\beta) = b$、$f(1) = 1 - 3a^2$ であるから、

$$ b < 1 - 3a^2 $$

以上より、求める条件は

$$ \begin{cases} a > 1 \\ -2a^3 < b < 1 - 3a^2 \end{cases} $$

となる（$a > 1$ のとき $(1-3a^2) - (-2a^3) = 2a^3 - 3a^2 + 1 = (a-1)^2(2a+1) > 0$ より $1-3a^2 > -2a^3$ が成り立つため、条件1の $-2a^3 < b < 2a^3$ も同時に満たされる）。

(iii) 図示について

領域の境界となる2曲線 $b = 1-3a^2$ と $b = -2a^3$ の共有点を調べる。

$$ 1-3a^2 = -2a^3 $$

$$ 2a^3 - 3a^2 + 1 = 0 $$

$$ (a-1)^2(2a+1) = 0 $$

これより、$a > 0$ における共有点の $a$ 座標は $a=1$ のみであり、このとき $b=-2$ である。また、両式の $a=1$ における微係数を調べると、

$$ \frac{d}{da}(1-3a^2) = -6a \xrightarrow{a=1} -6 $$

$$ \frac{d}{da}(-2a^3) = -6a^2 \xrightarrow{a=1} -6 $$

となり一致するため、これら2曲線は点 $(1, -2)$ で接する。

したがって、点 $(a, b)$ の動きうる範囲は、$a > 1$ の範囲において、曲線 $b = 1-3a^2$ の下側かつ曲線 $b = -2a^3$ の上側の領域となる。

解説

3次方程式の解の配置問題である。方程式の解を関数グラフの交点として視覚的に捉え、解の存在範囲を関数の値の正負（大小）に帰着させる定石通りに処理すればよい。

本問の最大のポイントは、条件2における $\beta > 1$ の処理である。$\beta$ が存在する区間 $(-a, a)$ において関数が単調減少であることを利用し、$f(\beta) < f(1)$ と言い換えることで、$\beta$ そのものを求めずとも条件式を導くことができる。また、その前提として $1$ が単調減少の区間に含まれるための条件 $a > 1$ を忘れないように注意が必要である。

領域を図示する際、単に上下関係を調べるだけでなく、境界線の交点や接する様子（微係数が一致すること）を確認すると、より説得力のある解答となる。