トップ› 東京工業大学› 2019年› 理系第2問

東京工業大学 2019年理系第2問解説

方針・初手

被積分関数に $f(xy)$ が含まれているため、$xy = t$ とおく置換積分を行う。また、積分区間に応じて被積分関数の絶対値記号 $|\log y|$ を外す必要がある。$1 \leqq x \leqq 2$ であることに注意して $y$ と $1$ の大小関係を調べ、積分区間を分割してから両辺を $x$ で微分して関数 $f(x)$ を求める。

解法1

与えられた等式は以下の通りである。

$$ \int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}} |\log y| f(xy) dy = 3x(\log x - 1) + A + \frac{B}{x} $$

$1 \leqq x \leqq 2$ のとき、積分変数 $y$ の動く範囲は $\frac{1}{x} \leqq y \leqq \frac{2}{x}$ である。このとき、$\frac{1}{x} \leqq 1 \leqq \frac{2}{x}$ が常に成り立つため、積分区間は $y=1$ をまたぐ。 $y \leqq 1$ のとき $\log y \leqq 0$、$y \geqq 1$ のとき $\log y \geqq 0$ であるから、絶対値を外すために積分を次のように分割する。

$$ \int_{\frac{1}{x}}^{1} (-\log y) f(xy) dy + \int_{1}^{\frac{2}{x}} (\log y) f(xy) dy = 3x(\log x - 1) + A + \frac{B}{x} $$

それぞれの積分において、$t = xy$ とおく。 $x$ は積分変数 $y$ とは無関係な定数として扱えるため、$dy = \frac{1}{x} dt$ となる。 $y$ と $t$ の対応関係は次のようになる。第1項の積分では、$y$ が $\frac{1}{x} \to 1$ と動くとき、$t$ は $1 \to x$ と動く。第2項の積分では、$y$ が $1 \to \frac{2}{x}$ と動くとき、$t$ は $x \to 2$ と動く。

また、$\log y = \log \frac{t}{x} = \log t - \log x$ であるから、与式は次のように変形できる。

$$ \int_{1}^{x} -(\log t - \log x) f(t) \cdot \frac{1}{x} dt + \int_{x}^{2} (\log t - \log x) f(t) \cdot \frac{1}{x} dt = 3x(\log x - 1) + A + \frac{B}{x} $$

両辺に $x$ をかけ、積分変数 $t$ と無関係な $\log x$ をくくり出すと次のようになる。

$$ - \int_{1}^{x} \log t f(t) dt + \log x \int_{1}^{x} f(t) dt + \int_{x}^{2} \log t f(t) dt - \log x \int_{x}^{2} f(t) dt = 3x^2(\log x - 1) + Ax + B $$

この式の両辺を $x$ で微分する。左辺の微分は、積の微分法を用いると以下のようになる。

$$ - \log x f(x) + \frac{1}{x} \int_{1}^{x} f(t) dt + \log x \cdot f(x) - \log x f(x) - \frac{1}{x} \int_{x}^{2} f(t) dt - \log x \cdot (-f(x)) $$

$$ = \frac{1}{x} \int_{1}^{x} f(t) dt - \frac{1}{x} \int_{x}^{2} f(t) dt $$

一方、右辺の微分は次のようになる。

$$ \frac{d}{dx} \{ 3x^2(\log x - 1) + Ax + B \} = 6x(\log x - 1) + 3x^2 \cdot \frac{1}{x} + A = 6x \log x - 3x + A $$

したがって、次の等式が得られる。

$$ \frac{1}{x} \int_{1}^{x} f(t) dt - \frac{1}{x} \int_{x}^{2} f(t) dt = 6x \log x - 3x + A $$

両辺に再び $x$ をかける。

$$ \int_{1}^{x} f(t) dt - \int_{x}^{2} f(t) dt = 6x^2 \log x - 3x^2 + Ax $$

これをさらに $x$ で微分する。

$$ f(x) - (-f(x)) = 12x \log x + 6x^2 \cdot \frac{1}{x} - 6x + A $$

$$ 2f(x) = 12x \log x + A $$

よって、$f(x)$ は定数 $A$ を用いて次のように表される。

$$ f(x) = 6x \log x + \frac{A}{2} $$

次に、定数 $A, B$ の値を求める。式 $\int_{1}^{x} f(t) dt - \int_{x}^{2} f(t) dt = 6x^2 \log x - 3x^2 + Ax$ は $1 \leqq x \leqq 2$ で成り立つので、$x=1$ と $x=2$ をそれぞれ代入する。

$x=1$ を代入すると、

$$ - \int_{1}^{2} f(t) dt = A - 3 $$

$x=2$ を代入すると、

$$ \int_{1}^{2} f(t) dt = 24 \log 2 - 12 + 2A $$

これらを足し合わせると、

$$ 0 = 24 \log 2 - 15 + 3A $$

$$ A = 5 - 8 \log 2 $$

これにより、$f(x)$ が決定される。

$$ f(x) = 6x \log x - 4 \log 2 + \frac{5}{2} $$

また、$x$ をかけた最初の等式に $x=1$ を代入して $B$ を求める。

$$ \int_{1}^{2} \log t f(t) dt = -3 + A + B $$

ここで、左辺の積分を計算する。

$$ \int_{1}^{2} \log t f(t) dt = \int_{1}^{2} \log t \left( 6t \log t - 4 \log 2 + \frac{5}{2} \right) dt $$

$$ = \int_{1}^{2} 6t (\log t)^2 dt + \left( - 4 \log 2 + \frac{5}{2} \right) \int_{1}^{2} \log t dt $$

それぞれの定積分は部分積分を用いて計算できる。

$$ \int_{1}^{2} \log t dt = \Big[ t \log t - t \Big]_{1}^{2} = 2 \log 2 - 1 $$

$$ \int_{1}^{2} 6t (\log t)^2 dt = \Big[ 3t^2 (\log t)^2 \Big]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} 3t^2 \cdot 2 \log t \cdot \frac{1}{t} dt $$

$$ = 12 (\log 2)^2 - \int_{1}^{2} 6t \log t dt $$

$$ = 12 (\log 2)^2 - \left( \Big[ 3t^2 \log t \Big]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} 3t dt \right) $$

$$ = 12 (\log 2)^2 - 12 \log 2 + \Big[ \frac{3}{2} t^2 \Big]_{1}^{2} = 12 (\log 2)^2 - 12 \log 2 + \frac{9}{2} $$

これらを代入して整理する。

$$ \int_{1}^{2} \log t f(t) dt = 12 (\log 2)^2 - 12 \log 2 + \frac{9}{2} + \left( - 4 \log 2 + \frac{5}{2} \right) (2 \log 2 - 1) $$

$$ = 12 (\log 2)^2 - 12 \log 2 + \frac{9}{2} - 8 (\log 2)^2 + 4 \log 2 + 5 \log 2 - \frac{5}{2} $$

$$ = 4 (\log 2)^2 - 3 \log 2 + 2 $$

これを先ほどの等式に代入する。

$$ 4 (\log 2)^2 - 3 \log 2 + 2 = -3 + (5 - 8 \log 2) + B $$

$$ 4 (\log 2)^2 - 3 \log 2 + 2 = 2 - 8 \log 2 + B $$

$$ B = 4 (\log 2)^2 + 5 \log 2 $$

解説

定積分で表された関数を微分して関数を決定する典型的な問題である。被積分関数に $f(xy)$ のような合成関数が含まれている場合は、変数変換によって積分変数と上端・下端に含まれる変数を分離することが定石となる。本問では絶対値 $|\log y|$ を外す際に、$y$ の範囲が $\frac{1}{x} \leqq y \leqq \frac{2}{x}$ であること、そしてその区間が常に $y=1$ をまたぐことに気づけるかがポイントとなる。その後の微分計算は項の打ち消し合いが多く発生するため、慌てずに丁寧に計算を進めることが求められる。