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東京大学 2018年文系第4問解説

方針・初手

(1) は軌跡の基本問題である。点 $P$ の座標を変数でおき、$\overrightarrow{OQ} = 2\overrightarrow{OP}$ の関係式から点 $Q$ の座標を満たす方程式と変域を求める。

(2) はベクトルの和が表す領域の図示と面積計算である。$\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR}$ と分解し、点 $Q$ が(1)の軌跡上を動き、点 $R$ が線分 $OA$ 上を動く条件を適用する。これは、「点 $Q$ の軌跡を $x$ 軸方向に $0$ から $1$ の範囲で平行移動してできる領域」と解釈できる。領域の形を正確に把握するため、ここでは $y$ 座標を固定して $x$ 座標の切り口（線分）を考える手法が有効である。

解法1

(1)

点 $P$ は放物線 $y = x^2$ の $-1 \leqq x \leqq 1$ の部分である曲線 $C$ 上にある。 $P(t, t^2)$ とおくと、 $t$ のとりうる範囲は $-1 \leqq t \leqq 1$ である。

点 $Q$ の座標を $(x, y)$ とすると、$\overrightarrow{OQ} = 2\overrightarrow{OP}$ より

$$ (x, y) = 2(t, t^2) = (2t, 2t^2) $$

これより $x = 2t, y = 2t^2$ となる。 $t = \frac{x}{2}$ を $y = 2t^2$ に代入して

$$ y = 2\left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}x^2 $$

また、$-1 \leqq t \leqq 1$ より $-2 \leqq 2t \leqq 2$ であるから、$-2 \leqq x \leqq 2$ を得る。

よって、点 $Q$ の軌跡は放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ の $-2 \leqq x \leqq 2$ をみたす部分である。

(2)

条件より $\overrightarrow{OS} = 2\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR}$ である。点 $Q$ は(1)で求めた軌跡上を動き、点 $R$ は線分 $OA$ 上を動く。点 $A(1, 0)$ であるから、点 $R$ の座標は $(u, 0)$ ただし $0 \leqq u \leqq 1$ とおける。

点 $S$ の座標を $(X, Y)$、点 $Q$ の座標を $(x, y)$ とすると

$$ (X, Y) = (x + u, y) $$

すなわち $X = x + u$、$Y = y$ である。ここで、点 $Q(x, y)$ は $y = \frac{1}{2}x^2 \ (-2 \leqq x \leqq 2)$ 上にあるので、$0 \leqq Y \leqq 2$ である。

ある $Y \ (0 \leqq Y \leqq 2)$ を固定して、$X$ のとりうる範囲を考える。 $y = Y$ となるような点 $Q$ の $x$ 座標は、$Y = \frac{1}{2}x^2$ を解いて $x = -\sqrt{2Y}, \sqrt{2Y}$ である。それぞれの $x$ に対し、$X = x + u \ (0 \leqq u \leqq 1)$ であるから、$X$ のとりうる範囲は次の2つの区間の和集合となる。

$$ [-\sqrt{2Y}, -\sqrt{2Y} + 1] \quad \text{および} \quad [\sqrt{2Y}, \sqrt{2Y} + 1] $$

これら2つの区間が重なる、あるいは端点で接する条件は

$$ -\sqrt{2Y} + 1 \geqq \sqrt{2Y} $$

これを解くと、$2\sqrt{2Y} \leqq 1$ より $Y \leqq \frac{1}{8}$ となる。したがって、各 $Y$ に対する区間の状態と、その長さの合計 $L(Y)$ は以下のように分類できる。

(i)

$0 \leqq Y \leqq \frac{1}{8}$ のとき 2つの区間は重なり、1つの連続した区間 $[-\sqrt{2Y}, \sqrt{2Y} + 1]$ となる。このときの切り口の長さ $L(Y)$ は

$$ L(Y) = (\sqrt{2Y} + 1) - (-\sqrt{2Y}) = 2\sqrt{2Y} + 1 $$

(ii)

$\frac{1}{8} < Y \leqq 2$ のとき 2つの区間は分離しており、それぞれの長さは $1$ である。このときの切り口の長さの合計 $L(Y)$ は

$$ L(Y) = 1 + 1 = 2 $$

これをもとに点 $S$ が動く領域を図示すると、以下の連立不等式で表される領域となる（境界を含む）。

$$ \begin{cases} -2 \leqq x \leqq -1 \text{ のとき } \frac{1}{2}x^2 \leqq y \leqq 2 \\ -1 \leqq x \leqq 0 \text{ のとき } \frac{1}{2}x^2 \leqq y \leqq \frac{1}{2}(x-1)^2 \\ 0 \leqq x \leqq \frac{1}{2} \text{ のとき } 0 \leqq y \leqq \frac{1}{2}(x-1)^2 \\ \frac{1}{2} \leqq x \leqq 1 \text{ のとき } 0 \leqq y \leqq \frac{1}{2}x^2 \\ 1 \leqq x \leqq 2 \text{ のとき } \frac{1}{2}(x-1)^2 \leqq y \leqq \frac{1}{2}x^2 \\ 2 \leqq x \leqq 3 \text{ のとき } \frac{1}{2}(x-1)^2 \leqq y \leqq 2 \end{cases} $$

（領域の形状は、放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \frac{1}{2}(x-1)^2$ および直線 $y=0, y=2$ で囲まれた図形から、中央上部の領域 $\frac{1}{2}(x-1)^2 \leqq y \leqq \frac{1}{2}x^2 \ (0 \leqq x \leqq \frac{1}{2})$ と $\frac{1}{2}x^2 \leqq y \leqq \frac{1}{2}(x-1)^2 \ (\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1)$ に相当する「穴」を除いた形になる）

求める面積 $S_{area}$ は、切り口の長さ $L(Y)$ を $Y$ について $0$ から $2$ まで積分して得られる。

$$ S_{area} = \int_{0}^{\frac{1}{8}} (2\sqrt{2Y} + 1) dY + \int_{\frac{1}{8}}^{2} 2 dY $$

それぞれの定積分を計算する。

$$ \int_{0}^{\frac{1}{8}} (2\sqrt{2Y} + 1) dY = \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} Y^{\frac{3}{2}} + Y \right]_{0}^{\frac{1}{8}} $$

$Y = \frac{1}{8}$ のとき、$Y^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{16\sqrt{2}}$ であるから

$$ \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{16\sqrt{2}} + \frac{1}{8} \right) - 0 = \frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{5}{24} $$

また、後半の積分は

$$ \int_{\frac{1}{8}}^{2} 2 dY = 2 \left( 2 - \frac{1}{8} \right) = 2 \cdot \frac{15}{8} = \frac{15}{4} = \frac{90}{24} $$

したがって、求める面積は

$$ S_{area} = \frac{5}{24} + \frac{90}{24} = \frac{95}{24} $$

解説

(2) の領域図示や面積計算においては、動く変数が複数ある場合の定石である「一方の変数を固定して考える」アプローチが重要である。本問では $x$ 座標や $u$ を動かすよりも、$y$ 座標を固定して横方向の切り口（線分）を捉える方針（いわゆるファクシミリの原理、またはカバリエリの原理の応用）をとると、中央に生じる「空白（穴）」の存在に気づきやすく、面積の積分計算も大幅に簡略化される。$x$ について積分して面積を求めることも可能だが、領域の境界が複雑に切り替わるため、計算ミスを誘発しやすい。