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東京大学 1988年文系第4問解説

方針・初手

まずは曲線 $y=f(x)$ 上の点 $A(1, 0)$ における接線の方程式を求め、その接線と曲線 $y=f(x)$ との交点 $B$ の座標を計算する。

次に、曲線 $y = ax^2+bx+c$ が 2点 $A, B$ を通るという条件から、係数 $b, c$ を $a$ を用いて表す。

さらに、2曲線が $A$ と $B$ の間にもう一つの共有点をもつ条件から $a$ のとり得る値の範囲を求め、2曲線で囲まれる部分の面積を $a$ を用いた定積分で計算する。最後に、得られた面積の式について最小値を考える。

解法1

$f(x) = x^3 - x^2$ より、導関数は以下のようになる。

$$ f'(x) = 3x^2 - 2x $$

点 $A(1, 0)$ における接線の傾きは $f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 = 1$ となるため、接線の方程式は次のように求まる。

$$ y - 0 = 1 \cdot (x - 1) $$

$$ y = x - 1 $$

この接線と曲線 $y = f(x)$ の交点を求めるため、連立して方程式を解く。

$$ x^3 - x^2 = x - 1 $$

$$ x^3 - x^2 - x + 1 = 0 $$

$$ x^2(x - 1) - (x - 1) = 0 $$

$$ (x - 1)^2(x + 1) = 0 $$

よって、接点 $A$ 以外の交点 $B$ の $x$ 座標は $x = -1$ である。このとき $y = -1 - 1 = -2$ となるから、点 $B$ の座標は $B(-1, -2)$ である。

次に、曲線 $y = ax^2 + bx + c$ が点 $A(1, 0)$ と $B(-1, -2)$ を共有する条件を考える。

$$ a + b + c = 0 \quad \cdots \text{(1)} $$

$$ a - b + c = -2 \quad \cdots \text{(2)} $$

（1）から（2）を引くと $2b = 2$ より $b = 1$ が得られる。

（1）と（2）を足すと $2a + 2c = -2$ より $c = -a - 1$ となる。

したがって、曲線の式は $y = ax^2 + x - a - 1$ と表される。これを $g(x) = ax^2 + x - a - 1$ とおく。

$f(x)$ と $g(x)$ の共有点の $x$ 座標は、方程式 $f(x) - g(x) = 0$ の解である。

$$ x^3 - x^2 - (ax^2 + x - a - 1) = 0 $$

$$ x^3 - (a+1)x^2 - x + a + 1 = 0 $$

この方程式は $x = 1$ と $x = -1$ を解にもつので、左辺は $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$ で割り切れる。

$$ x(x^2 - 1) - (a+1)(x^2 - 1) = 0 $$

$$ (x - a - 1)(x - 1)(x + 1) = 0 $$

よって、共有点の $x$ 座標は $x = 1, -1, a+1$ である。

問題の条件「$A$ と $B$ のあいだにもうひとつの共有点をもつ」より、$x = a+1$ が $-1 < x < 1$ の範囲にある必要がある。

$$ -1 < a + 1 < 1 $$

$$ -2 < a < 0 \quad \cdots \text{(3)} $$

このとき、$\alpha = a + 1$ とおくと、3つの共有点の $x$ 座標は $-1, \alpha, 1$ となり、$-1 < \alpha < 1$ を満たす。

2曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ で囲む部分の面積 $S$ を求める。

区間 $-1 \le x \le \alpha$ では $f(x) \ge g(x)$、区間 $\alpha \le x \le 1$ では $f(x) \le g(x)$ であるから、面積 $S$ は次のように立式できる。

$$ S = \int_{-1}^{\alpha} \{f(x) - g(x)\} dx + \int_{\alpha}^{1} \{g(x) - f(x)\} dx $$

$$ S = \int_{-1}^{\alpha} (x - \alpha)(x - 1)(x + 1) dx - \int_{\alpha}^{1} (x - \alpha)(x - 1)(x + 1) dx $$

ここで、$h(x) = (x - \alpha)(x - 1)(x + 1) = x^3 - \alpha x^2 - x + \alpha$ とおくと、その不定積分 $H(x)$ は以下のようになる。

$$ H(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{\alpha}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \alpha x $$

したがって、面積 $S$ は次のように計算できる。

$$ S = [H(x)]_{-1}^{\alpha} - [H(x)]_{\alpha}^{1} $$

$$ S = 2H(\alpha) - H(-1) - H(1) $$

それぞれの値を計算する。

$$ H(\alpha) = \frac{1}{4}\alpha^4 - \frac{1}{3}\alpha^4 - \frac{1}{2}\alpha^2 + \alpha^2 = -\frac{1}{12}\alpha^4 + \frac{1}{2}\alpha^2 $$

$$ H(-1) = \frac{1}{4} + \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2} - \alpha = -\frac{1}{4} - \frac{2}{3}\alpha $$

$$ H(1) = \frac{1}{4} - \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2} + \alpha = -\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\alpha $$

これらを代入して整理する。

$$ S = 2\left(-\frac{1}{12}\alpha^4 + \frac{1}{2}\alpha^2\right) - \left(-\frac{1}{4} - \frac{2}{3}\alpha\right) - \left(-\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\alpha\right) $$

$$ S = -\frac{1}{6}\alpha^4 + \alpha^2 + \frac{1}{2} $$

$\alpha = a + 1$ を代入し、面積 $S$ は以下のように求まる。

$$ S = -\frac{1}{6}(a+1)^4 + (a+1)^2 + \frac{1}{2} $$

次に、この面積 $S$ の最小値を考える。

$-1 < \alpha < 1$ より $0 \le \alpha^2 < 1$ である。$t = \alpha^2$ とおくと、式は以下のようになる。

$$ S = -\frac{1}{6}t^2 + t + \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}(t^2 - 6t) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}(t - 3)^2 + 2 $$

$t$ の変域 $0 \le t < 1$ において、この関数は上に凸の放物線の一部であり、軸 $t=3$ より左側にあるため単調増加する。

したがって、$S$ は $t = 0$ のとき最小となる。

$t = 0$ のとき $\alpha = 0$ であり、$\alpha = a + 1 = 0$ より $a = -1$ となる。これは条件（3）の $-2 < a < 0$ を満たす。

このとき、$b, c$ の値は以下の通りである。

$$ b = 1 $$

$$ c = -(-1) - 1 = 0 $$

解説

三次関数と接線、および二次関数の曲線が囲む面積の計算と、その最小値を求める微積分と二次関数の総合問題である。

2曲線間の面積を計算する際、交点の $x$ 座標の大小関係で関数の上下関係が入れ替わるため、区間を分割して定積分を立式することが最大のポイントとなる。定積分の計算では、不定積分 $H(x)$ を用いて $2H(\alpha) - H(-1) - H(1)$ のようにまとめると、計算量とミスを減らすことができる。

面積の式が得られた後は、四次関数を二乗の置き換えによって二次関数に帰着させ、定義域に注意しながら最小値を求める典型的な処理を行えばよい。