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東京大学 1988年文系第3問解説

方針・初手

求める体積は、与えられた不等式が表す領域を積分することで得られる。空間図形の体積を求める際の定石通り、ある座標軸に垂直な平面で立体を切断し、その断面積を求めてから積分する。ここでは $z$ 軸に垂直な平面 $z = t$ で切断し、その断面 $S(t)$ の面積を $t$ の関数として表すのが見通しが良い。

解法1

立体を $z$ 軸に垂直な平面 $z = t$ で切断する。 $z \geqq 0$ であり、$x \geqq 0$ と $x+2z \leqq 4$ より $2z \leqq 4$ すなわち $z \leqq 2$ であるから、$t$ の取り得る範囲は $0 \leqq t \leqq 2$ である。

平面 $z=t$ における立体の断面 $S(t)$ は、$xy$ 平面上で次の連立不等式を満たす領域である。

$$ \begin{cases} x \geqq 0 \\ y \geqq 0 \\ x + y \leqq 3 - t \\ x \leqq 4 - 2t \\ y \leqq t + 1 \end{cases} $$

この領域は直線 $x+y = 3-t$ を境界の1つとして持つ。これと他の2直線 $x = 4-2t$, $y = t+1$ との位置関係は、$t$ の値によって変化する。 $x$ 軸上の上限を決める $3-t$ と $4-2t$、および $y$ 軸上の上限を決める $3-t$ と $t+1$ の大小関係を比較する。

$$ (4-2t) - (3-t) = 1 - t $$

$$ (t+1) - (3-t) = 2t - 2 = 2(t-1) $$

これらより、$t=1$ を境に大小関係が逆転することがわかるため、場合分けを行う。

(i)

$0 \leqq t \leqq 1$ のとき

$4-2t \geqq 3-t$ かつ $t+1 \leqq 3-t$ である。したがって、直線 $x = 4-2t$ は $x+y \leqq 3-t$ と $y \geqq 0$ が作る領域よりも右側にあり、領域の境界とはならない。断面 $S(t)$ は、4点 $(0,0)$, $(3-t, 0)$, $(2-2t, t+1)$, $(0, t+1)$ を頂点とする台形となる。（直線 $x+y = 3-t$ と $y = t+1$ の交点の $x$ 座標は $x = 3-t - (t+1) = 2-2t$ であり、これは $0 \leqq t \leqq 1$ において非負である）この台形の面積 $S(t)$ を求める。上底の長さは $2-2t$、下底の長さは $3-t$、高さは $t+1$ であるから、

$$ S(t) = \frac{1}{2} \{ (2-2t) + (3-t) \} (t+1) = \frac{1}{2} (5-3t)(t+1) = -\frac{3}{2}t^2 + t + \frac{5}{2} $$

(ii)

$1 \leqq t \leqq 2$ のとき

$4-2t \leqq 3-t$ かつ $t+1 \geqq 3-t$ である。したがって、直線 $y = t+1$ は $x+y \leqq 3-t$ と $x \geqq 0$ が作る領域よりも上側にあり、領域の境界とはならない。断面 $S(t)$ は、4点 $(0,0)$, $(4-2t, 0)$, $(4-2t, t-1)$, $(0, 3-t)$ を頂点とする台形となる。（直線 $x+y = 3-t$ と $x = 4-2t$ の交点の $y$ 座標は $y = 3-t - (4-2t) = t-1$ であり、これは $1 \leqq t \leqq 2$ において非負である）この台形の面積 $S(t)$ を求める。上底の長さは $t-1$、下底の長さは $3-t$、高さは $4-2t$ であるから、

$$ S(t) = \frac{1}{2} \{ (t-1) + (3-t) \} (4-2t) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (4-2t) = 4-2t $$

（$t=1$ のとき、（i）と（ii）のいずれの式でも $S(1) = 2$ となり連続する）

以上より、求める立体の体積 $V$ は

$$ \begin{aligned} V &= \int_{0}^{2} S(t) dt \\ &= \int_{0}^{1} \left( -\frac{3}{2}t^2 + t + \frac{5}{2} \right) dt + \int_{1}^{2} (4-2t) dt \\ &= \left[ -\frac{1}{2}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + \frac{5}{2}t \right]_{0}^{1} + \left[ 4t - t^2 \right]_{1}^{2} \\ &= \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{5}{2} \right) + \{ (8-4) - (4-1) \} \\ &= \frac{5}{2} + (4 - 3) \\ &= \frac{7}{2} \end{aligned} $$

解説

空間内の複数の不等式で表された立体の体積を求める基本的な問題である。空間図形を直接イメージするのは難しいため、いずれかの座標軸に垂直な平面で切断し、断面積を積分して体積を求めるという定石に従う。どの変数で切断するかによって計算量が変わるが、本問では $z$ の係数が非対称であり、$z$ を定数とみなしたときに残る $x, y$ の連立不等式が直線のみで構成されるため、$z=t$ で切断するのが最も処理しやすい。断面の形状が $t$ の値によってどのように変化するか（どの直線が領域の実質的な境界として機能するか）を丁寧に場合分けして捉えることが最大のポイントとなる。