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東京大学 1991年文系第1問解説

方針・初手

関数を微分して増減表を作成し、区間内での極値と区間の両端における値を比較して最大値・最小値を求める。極値の計算では、関数を導関数で割った余りを利用すると計算の負担を減らすことができる。値の比較の際は、直接の大小関係がわかりにくい場合、差をとって平方を用いて評価する。

解法1

$f(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 4$ を微分すると、

$$ f'(x) = 3x^2 - 4x - 3 $$

$f'(x) = 0$ とすると、解の公式より

$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{13}}{3} $$

$\alpha = \frac{2 - \sqrt{13}}{3}, \beta = \frac{2 + \sqrt{13}}{3}$ とおく。 $3 < \sqrt{13} < 4$ であるから、

$$ -\frac{2}{3} < \alpha < -\frac{1}{3}, \quad \frac{5}{3} < \beta < 2 $$

これより、$\alpha, \beta$ はともに区間 $-\frac{7}{4} \leqq x \leqq 3$ に含まれる。したがって、この区間における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$-\frac{7}{4}$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\beta$	$\cdots$	$3$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

ここで、$f(x)$ を $f'(x)$ で割ると、

$$ f(x) = (3x^2 - 4x - 3)\left(\frac{1}{3}x - \frac{2}{9}\right) - \frac{26}{9}x + \frac{10}{3} $$

となる。$\alpha, \beta$ は $3x^2 - 4x - 3 = 0$ の解であるから、極値は

$$ f(\alpha) = - \frac{26}{9}\alpha + \frac{10}{3} = - \frac{26}{9} \cdot \frac{2 - \sqrt{13}}{3} + \frac{10}{3} = \frac{38 + 26\sqrt{13}}{27} $$

$$ f(\beta) = - \frac{26}{9}\beta + \frac{10}{3} = - \frac{26}{9} \cdot \frac{2 + \sqrt{13}}{3} + \frac{10}{3} = \frac{38 - 26\sqrt{13}}{27} $$

また、区間の両端における $f(x)$ の値は、

$$ f\left(-\frac{7}{4}\right) = \left(-\frac{7}{4}\right)^3 - 2\left(-\frac{7}{4}\right)^2 - 3\left(-\frac{7}{4}\right) + 4 = -\frac{343}{64} - \frac{49}{8} + \frac{21}{4} + 4 = -\frac{143}{64} $$

$$ f(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 4 = 4 $$

次に、極大値 $f(\alpha)$ と右端点の値 $f(3)$ を比較する。

$$ f(\alpha) - f(3) = \frac{38 + 26\sqrt{13}}{27} - 4 = \frac{26\sqrt{13} - 70}{27} $$

ここで $(26\sqrt{13})^2 = 8788$、$70^2 = 4900$ より $26\sqrt{13} > 70$ であるから、$f(\alpha) > f(3)$ となる。よって、最大値は $f(\alpha) = \frac{38 + 26\sqrt{13}}{27}$ である。

続いて、極小値 $f(\beta)$ と左端点の値 $f\left(-\frac{7}{4}\right)$ を比較する。

$$ f(\beta) - f\left(-\frac{7}{4}\right) = \frac{38 - 26\sqrt{13}}{27} - \left(-\frac{143}{64}\right) = \frac{64(38 - 26\sqrt{13}) + 143 \cdot 27}{1728} = \frac{6293 - 1664\sqrt{13}}{1728} $$

ここで $6293^2 = 39601849$、$(1664\sqrt{13})^2 = 1664^2 \cdot 13 = 35995648$ より $6293 > 1664\sqrt{13}$ であるから、$f(\beta) > f\left(-\frac{7}{4}\right)$ となる。よって、最小値は $f\left(-\frac{7}{4}\right) = -\frac{143}{64}$ である。

解説

3次関数の閉区間における最大・最小を求める標準的な問題である。極値をとる $x$ の値が無理数となるため、そのまま代入すると計算が煩雑になる。「次数下げ」の手法（$f(x)$ を $f'(x)$ で割った余りを利用する）を用いることで、計算量を減らしミスを防ぐことができる。また、最大値・最小値の候補となる極値と端点の値の大小比較では、差をとって平方を比較する厳密な論証が求められる。