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東京大学 1991年文系第2問解説

方針・初手

曲線上の点 $Q$ の座標を媒介変数 $t$ を用いて表す。
ベクトルや実数パラメータを用いて、直線 $PQ$ 上の点 $R$ の座標を $t$ の式で表す。
点 $R$ が $xy$ 平面上にあるという条件（$z = 0$）からパラメータを消去し、$x, y$ 座標を $t$ だけで表す。
得られた式から $t$ を消去して $x, y$ の関係式を導く。その際、$t$ が実数として存在するための条件から、$x, y$ の変域（軌跡の限界や除外点）を丁寧に確認する。

解法1

点 $Q$ は $yz$ 平面上の曲線 $z = y^2$ 上の点であるから、実数 $t$ を用いて $Q(0, t, t^2)$ とおくことができる。

直線 $PQ$ 上の点 $R$ の座標を $(x, y, z)$ とすると、実数 $k$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR} = (1-k)\overrightarrow{OP} + k\overrightarrow{OQ} $$

と表せる。$P(2, 0, 1)$ であるから、各成分は次のように表される。

$$ \begin{cases} x = 2(1-k) \\ y = kt \\ z = (1-k) \cdot 1 + k \cdot t^2 = 1 - k + kt^2 \end{cases} $$

点 $R$ は $xy$ 平面上の点であるため、$z = 0$ である。すなわち

$$ 1 - k + kt^2 = 0 $$

$$ k(t^2 - 1) = -1 $$

ここで、$t = \pm 1$ とすると $0 = -1$ となり矛盾するため、$t \neq \pm 1$ である。したがって、$k = \frac{-1}{t^2 - 1} = \frac{1}{1 - t^2}$ と定まる。

これを $x, y$ の式に代入して $k$ を消去する。

$$ x = 2 \left( 1 - \frac{1}{1 - t^2} \right) = 2 \left( \frac{1 - t^2 - 1}{1 - t^2} \right) = \frac{-2t^2}{1 - t^2} = \frac{2t^2}{t^2 - 1} $$

$$ y = \frac{t}{1 - t^2} = \frac{-t}{t^2 - 1} $$

次に、これら2式から媒介変数 $t$ を消去する。 $x$ の式を変形すると、

$$ x = \frac{2(t^2 - 1) + 2}{t^2 - 1} = 2 + \frac{2}{t^2 - 1} $$

$$ x - 2 = \frac{2}{t^2 - 1} $$

これより $x \neq 2$ であり、

$$ t^2 - 1 = \frac{2}{x - 2} $$

$$ t^2 = 1 + \frac{2}{x - 2} = \frac{x}{x - 2} $$

一方、$y$ の式の両辺を2乗すると、

$$ y^2 = \frac{t^2}{(t^2 - 1)^2} $$

ここに先ほど求めた $t^2 = \frac{x}{x - 2}$ と $\frac{1}{(t^2 - 1)^2} = \frac{(x - 2)^2}{4}$ を代入する。

$$ y^2 = \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2)^2}{4} $$

$$ y^2 = \frac{x(x - 2)}{4} $$

$$ 4y^2 = x^2 - 2x $$

$$ x^2 - 2x - 4y^2 = 0 $$

$$ (x - 1)^2 - 4y^2 = 1 $$

最後に、パラメータ $t$ の条件から軌跡の範囲を調べる。 $t$ は $t \neq \pm 1$ を満たす任意の実数であるから、$t^2 \ge 0$ かつ $t^2 \neq 1$ である。まず、$t^2 \ge 0$ より

$$ \frac{x}{x - 2} \ge 0 $$

これを解くと、$x \le 0$ または $x > 2$ となる。また、$t^2 \neq 1$ より $\frac{x}{x - 2} \neq 1 \iff x \neq x - 2 \iff 0 \neq -2$ となり、これは常に成り立つ。

以上より、求める図形 $F$ の方程式は

$$ (x - 1)^2 - 4y^2 = 1 \quad (x \le 0, \ x > 2) $$

となる。これは双曲線であり、頂点は $(0, 0)$ と $(2, 0)$ であるが、$x > 2$ の条件により点 $(2, 0)$ は除外される。

解説

空間図形と軌跡の典型的な問題である。直線のベクトル方程式を用いて交点の座標を媒介変数で表し、そこから媒介変数を消去して軌跡の方程式を求めるという、基本に忠実な処理が求められる。

この問題の最大のポイントは「除外点の確認」である。単に $t$ を消去して双曲線の方程式を導くだけでなく、$t$ が実数として存在するための条件（$t^2 \ge 0$）を $x$ の不等式に翻訳することで、正しい変域 $x \le 0$ または $x > 2$ が得られる。これにより、双曲線の片方の頂点 $(2, 0)$ が軌跡から除外されることに気づけるかどうかが、大きな差を生む。幾何学的には、$t \to \pm \infty$ のとき点 $R$ は $(2, 0, 0)$ に限りなく近づくが、有限の $t$ では到達できないことを意味している。