東京大学 1994年 文系 第1問 解説

方針・初手

対数の真数条件を確認し、与えられた不等式から対数を外して $x, y$ の代数的な不等式を導く。これにより領域 $D$ を図示する。その後、$y - sx = k$ とおき、直線 $y = sx + k$ と領域 $D$ が共有点をもつような $y$ 切片 $k$ の最大値を、傾き $s$ の値によって場合分けして求める。

解法1

(1) 対数の真数条件より、

$$ x > 0 \quad \text{かつ} \quad y > 0 \quad \text{かつ} \quad 4 - 2x > 0 $$

これを解いて、

$$ 0 < x < 2 \quad \text{かつ} \quad y > 0 \quad \cdots ① $$

与えられた不等式は、次のように変形できる。

$$ \log_2 x \leqq \log_2 4 + \log_2 y \leqq \log_2 x + \log_2 (4 - 2x) $$

$$ \log_2 x \leqq \log_2 (4y) \leqq \log_2 \{ x(4 - 2x) \} $$

底の $2$ は $1$ より大きいので、真数の大小関係はそのまま保たれ、

$$ x \leqq 4y \leqq x(4 - 2x) $$

これを分割して整理すると、

$$ y \geqq \frac{1}{4}x \quad \cdots ② $$

$$ y \leqq -\frac{1}{2}x^2 + x \quad \cdots ③ $$

境界線となる放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$ と直線 $y = \frac{1}{4}x$ の交点の $x$ 座標を求める。

$$ \frac{1}{4}x = -\frac{1}{2}x^2 + x $$

$$ 2x^2 - 3x = 0 $$

$$ x(2x - 3) = 0 $$

$$ x = 0, \frac{3}{2} $$

条件 ① を考慮すると、領域 $D$ の頂点の一つは $( \frac{3}{2}, \frac{3}{8} )$ となる。 したがって、領域 $D$ は、放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$ と直線 $y = \frac{1}{4}x$ で囲まれた部分のうち、$x > 0$ を満たす範囲である。

(2) $y - sx = k$ とおくと、これは傾き $s$、$y$ 切片 $k$ の直線を表す。

$$ y = sx + k \quad \cdots ④ $$

この直線 ④ が領域 $D$ と共有点をもつような $k$ の最大値 $f(s)$ を求める。 領域 $D$ の上側の境界は、放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$ の $0 < x \leqq \frac{3}{2}$ の部分である。 $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x$ とおくと、導関数は $g'(x) = -x + 1$ となる。 直線 ④ が放物線に接するとき、接点の $x$ 座標は $-x + 1 = s$ より $x = 1 - s$ である。 問題の条件 $s < 1$ より $1 - s > 0$ は常に成り立つ。 接点の $x$ 座標 $1 - s$ が $0 < x \leqq \frac{3}{2}$ の範囲に含まれるかどうかで場合分けを行う。

(i)

$1 - s \leqq \frac{3}{2}$ すなわち $-\frac{1}{2} \leqq s < 1$ のとき

接点は領域 $D$ の境界線上に存在する。 このとき、直線 ④ が放物線に接するときに $k$ は最大となる。 $-\frac{1}{2}x^2 + x = sx + k$ を整理して、

$$ x^2 + 2(s - 1)x + 2k = 0 $$

この 2 次方程式の判別式を 0 とすると、

$$ (s - 1)^2 - 2k = 0 $$

$$ k = \frac{1}{2}(s - 1)^2 $$

よって、$f(s) = \frac{1}{2}(s - 1)^2$ となる。

(ii)

$1 - s > \frac{3}{2}$ すなわち $s < -\frac{1}{2}$ のとき

接点は領域 $D$ の右側に外れる。 このとき、$k$ を大きくしていくと、直線 ④ は領域 $D$ の右端の点 $( \frac{3}{2}, \frac{3}{8} )$ で最後に領域と交わる。 したがって、直線が点 $( \frac{3}{2}, \frac{3}{8} )$ を通るときに $k$ は最大となる。

$$ k = \frac{3}{8} - \frac{3}{2}s $$

よって、$f(s) = -\frac{3}{2}s + \frac{3}{8}$ となる。

関数 $t = f(s)$ のグラフを図示する際、 $s = -\frac{1}{2}$ のときの値をそれぞれ計算すると、

$$ t = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} - 1 \right)^2 = \frac{9}{8} $$

$$ t = -\frac{3}{2} \left( -\frac{1}{2} \right) + \frac{3}{8} = \frac{9}{8} $$

となり、グラフは点 $( -\frac{1}{2}, \frac{9}{8} )$ で連続につながり、さらにこの点における微分係数も一致するため滑らかに接続される。

解説

対数不等式の処理において、真数条件を見落とさないことが最重要である。領域を図示した後、$y - sx$ の最大値・最小値を求める問題は、$y - sx = k$ とおいて直線束の切片の最大・最小を考える典型的な線形計画法の手法を用いる。接点が領域内に存在するかどうか（すなわち、境界の端点と比較して接点がどちら側にあるか）が、場合分けの基準となる。

答え

(1)

領域 $D$ は、放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$ と直線 $y = \frac{1}{4}x$ に囲まれた部分である。境界線を含む。ただし、原点 $(0,0)$ は含まない。

(2)

最大値 $f(s)$ は、

$$ f(s) = \begin{cases} -\frac{3}{2}s + \frac{3}{8} & \left( s < -\frac{1}{2} \text{ のとき} \right) \\ \frac{1}{2}(s - 1)^2 & \left( -\frac{1}{2} \leqq s < 1 \text{ のとき} \right) \end{cases} $$

関数 $t = f(s)$ のグラフは、$st$ 平面において、$s < -\frac{1}{2}$ の範囲では点 $\left( -\frac{1}{2}, \frac{9}{8} \right)$ を端点とする傾き $-\frac{3}{2}$ の半直線であり、$-\frac{1}{2} \leqq s < 1$ の範囲では頂点が $(1, 0)$ の放物線の一部である。点 $\left( -\frac{1}{2}, \frac{9}{8} \right)$ で滑らかにつながり、点 $(1, 0)$ は白丸で含まれない。