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東京大学 1994年文系第2問解説

方針・初手

$P(x_1, y_1)$ と $Q(x_2, y_2)$ を $x$ 軸または $y$ 軸に平行な線分からなる折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値 $d(P, Q)$ は、$x$ 座標の差の絶対値と $y$ 座標の差の絶対値の和である。すなわち、$d(P, Q) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$ と表される。この式を用いて与えられた条件を $x, y$ の方程式に書き換え、絶対値を外すために場合分けを行って $P(x,y)$ の満たす図形を求める。

解法1

2点 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$ に対し、題意の距離 $d(P, Q)$ は次のように表される。

$$ d(P, Q) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| $$

(1) 原点 $O(0,0)$、点 $A(1,3)$、点 $P(x,y)$ より、$d(O,P) = d(P,A)$ は次の方程式となる。

$$ |x| + |y| = |x - 1| + |y - 3| $$

これを $x$ と $y$ それぞれについて整理する。

$$ |x| - |x - 1| = |y - 3| - |y| $$

ここで、左辺を $u(x) = |x| - |x - 1|$、右辺を $v(y) = |y - 3| - |y|$ とおく。 $u(x)$ は絶対値の中身の正負によって、次のように場合分けされる。

$$ u(x) = \begin{cases} -x - (-(x - 1)) = -1 & (x < 0) \\ x - (-(x - 1)) = 2x - 1 & (0 \le x \le 1) \\ x - (x - 1) = 1 & (x > 1) \end{cases} $$

同様に、$v(y)$ は次のように場合分けされる。

$$ v(y) = \begin{cases} -(y - 3) - (-y) = 3 & (y < 0) \\ -(y - 3) - y = -2y + 3 & (0 \le y \le 3) \\ (y - 3) - y = -3 & (y > 3) \end{cases} $$

方程式 $u(x) = v(y)$ を $x$ の範囲で場合分けして解く。

(i)

$x < 0$ のとき $u(x) = -1$ より $v(y) = -1$ となる。 $v(y)$ の値域を考慮すると、これは $0 \le y \le 3$ の範囲で解をもつ。

$$ -2y + 3 = -1 $$

これを解いて $y = 2$ を得る。すなわち、半直線 $y = 2 \ (x < 0)$ である。

(ii)

$0 \le x \le 1$ のとき $u(x) = 2x - 1$ となる。 $0 \le x \le 1$ より $-1 \le 2x - 1 \le 1$ であるため、$v(y) = 2x - 1$ となる $y$ は $0 \le y \le 3$ の範囲にある。

$$ -2y + 3 = 2x - 1 $$

これを整理すると $y = -x + 2$ となる。 $0 \le x \le 1$ のとき $1 \le y \le 2$ となり、$0 \le y \le 3$ を満たしている。すなわち、線分 $y = -x + 2 \ (0 \le x \le 1)$ である。

(iii)

$x > 1$ のとき $u(x) = 1$ より $v(y) = 1$ となる。 $0 \le y \le 3$ の範囲で方程式を解く。

$$ -2y + 3 = 1 $$

これを解いて $y = 1$ を得る。すなわち、半直線 $y = 1 \ (x > 1)$ である。

境界での連続性を考慮すると、求める範囲は点 $(0,2)$ と点 $(1,1)$ を結ぶ線分、およびその両端からそれぞれ $x$ 軸に平行に逆方向に伸びる2つの半直線からなる折れ線となる。

(2) 点 $A(1,3)$、点 $B(-1,1)$、点 $P(x,y)$ より、$d(A,P) = d(P,B)$ は次の方程式となる。

$$ |x - 1| + |y - 3| = |x + 1| + |y - 1| $$

これを $x$ と $y$ それぞれについて整理する。

$$ |x + 1| - |x - 1| = |y - 3| - |y - 1| $$

ここで、左辺を $g(x) = |x + 1| - |x - 1|$、右辺を $h(y) = |y - 3| - |y - 1|$ とおく。 $g(x)$ は次のように場合分けされる。

$$ g(x) = \begin{cases} -(x + 1) - (-(x - 1)) = -2 & (x < -1) \\ (x + 1) - (-(x - 1)) = 2x & (-1 \le x \le 1) \\ (x + 1) - (x - 1) = 2 & (x > 1) \end{cases} $$

同様に、$h(y)$ は次のように場合分けされる。

$$ h(y) = \begin{cases} -(y - 3) - (-(y - 1)) = 2 & (y < 1) \\ -(y - 3) - (y - 1) = -2y + 4 & (1 \le y \le 3) \\ (y - 3) - (y - 1) = -2 & (y > 3) \end{cases} $$

方程式 $g(x) = h(y)$ を $x$ の範囲で場合分けして解く。

(i)

$x < -1$ のとき $g(x) = -2$ より $h(y) = -2$ となる。 $h(y) = -2$ となるのは、$y \ge 3$ のときである。すなわち、方程式を満たす点の集合は領域 $x < -1$ かつ $y \ge 3$ となる。

(ii)

$-1 \le x \le 1$ のとき $g(x) = 2x$ となる。 $-1 \le x \le 1$ より $-2 \le 2x \le 2$ であるため、$h(y) = 2x$ となる $y$ は $1 \le y \le 3$ の範囲にある。

$$ -2y + 4 = 2x $$

これを整理すると $y = -x + 2$ となる。 $-1 \le x \le 1$ のとき $1 \le y \le 3$ となり、$1 \le y \le 3$ を満たしている。すなわち、線分 $y = -x + 2 \ (-1 \le x \le 1)$ である。

(iii)

$x > 1$ のとき $g(x) = 2$ より $h(y) = 2$ となる。 $h(y) = 2$ となるのは、$y \le 1$ のときである。すなわち、方程式を満たす点の集合は領域 $x > 1$ かつ $y \le 1$ となる。

境界の接続を含めて整理すると、求める範囲は線分 $y = -x + 2 \ (-1 \le x \le 1)$ と、その端点 $(-1,3)$ を頂点とする左上方向の領域 $x \le -1$ かつ $y \ge 3$、および端点 $(1,1)$ を頂点とする右下方向の領域 $x \ge 1$ かつ $y \le 1$ の和集合となる。

解説

この問題で定義されている距離は、一般に「マンハッタン距離（$L_1$距離）」と呼ばれる。ユークリッド距離における「2点から等距離にある点の集合」は垂直二等分線となるが、マンハッタン距離においては折れ線や領域を含むより複雑な図形となる。絶対値を含む方程式を扱う際の定石通り、絶対値の中身の正負が変わる境界（本問では各点の $x, y$ 座標）で場合分けを行うことが重要である。式を $x$ の関数と $y$ の関数に分離し、それぞれの値域を調べることで見通しよく解くことができる。特に(2)のように、方程式の解が曲線（直線）だけでなく「領域」として現れる点に注意が必要である。