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東京大学 2000年文系第1問解説

方針・初手

直円すい台の体積を $x$ の式で表し、その和 $V(x)$ の定義域 $0 \leqq x \leqq 1$ における増減を微分を用いて調べる。直円すい台の体積を求めるにあたっては、円錐の相似比を利用して「大きな円錐から小さな円錐を切り取った立体」として計算すると、展開の手間が省けてその後の微分計算が容易になる。

解法1

直円すい台の体積を、大きな円錐から上部の小さな円錐を切り取った立体の体積として求める。

直円すい台 $A$ の体積 $V_A(x)$

$A$ を延長してできる円錐の頂点から底面までの高さを $h_A$ とする（$0 < x \leqq 1$ として考える）。円錐の断面の相似比より、

$$ 1 : (1-x) = h_A : (h_A - 4x) $$

が成り立つ。これを解くと、

$$ h_A(1-x) = h_A - 4x $$

$$ x h_A = 4x $$

$x \neq 0$ より $h_A = 4$ となる。したがって、$A$ の体積は、底面の半径 $1$、高さ $4$ の円錐から、底面の半径 $1-x$、高さ $4 - 4x = 4(1-x)$ の円錐を引いたものであるから、

$$ V_A(x) = \frac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot 4 - \frac{1}{3}\pi (1-x)^2 \cdot 4(1-x) $$

$$ = \frac{4}{3}\pi \{ 1 - (1-x)^3 \} $$

この式は $x = 0$ のとき $V_A(0) = 0$ となり、$x=0$ の場合でも成立する。

直円すい台 $B$ の体積 $V_B(x)$

$B$ を延長してできる円錐の頂点から底面までの高さを $h_B$ とする（$0 \leqq x < 1$ として考える）。円錐の断面の相似比より、

$$ \left(1-\frac{x}{2}\right) : \frac{1}{2} = h_B : \{ h_B - (1-x) \} $$

が成り立つ。これを解くと、

$$ \frac{1}{2}h_B = \left(1-\frac{x}{2}\right)(h_B - 1 + x) $$

$$ \frac{1}{2}h_B = h_B - 1 + x - \frac{x}{2}h_B + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{2} $$

整理して、

$$ \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2}\right) h_B = - \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - 1 $$

両辺を $2$ 倍すると、

$$ (x-1) h_B = - (x^2 - 3x + 2) $$

$$ (x-1) h_B = - (x-1)(x-2) $$

$x \neq 1$ より $h_B = 2-x$ となる。したがって、$B$ の体積は、底面の半径 $1-\frac{x}{2}$、高さ $2-x$ の円錐から、底面の半径 $\frac{1}{2}$、高さ $(2-x) - (1-x) = 1$ の円錐を引いたものである。

$$ V_B(x) = \frac{1}{3}\pi \left(1-\frac{x}{2}\right)^2 (2-x) - \frac{1}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 1 $$

ここで、$1-\frac{x}{2} = \frac{2-x}{2}$ であるから、

$$ V_B(x) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{2-x}{2}\right)^2 (2-x) - \frac{\pi}{12} $$

$$ = \frac{\pi}{12} (2-x)^3 - \frac{\pi}{12} $$

$$ = \frac{\pi}{12} \{ (2-x)^3 - 1 \} $$

この式は $x = 1$ のとき $V_B(1) = 0$ となり、$x=1$ の場合でも成立する。

体積の和 $V(x)$ と最大値

$V(x) = V_A(x) + V_B(x)$ であるから、

$$ V(x) = \frac{4}{3}\pi \{ 1 - (1-x)^3 \} + \frac{\pi}{12} \{ (2-x)^3 - 1 \} $$

$x$ について微分すると、合成関数の微分法より、

$$ V'(x) = \frac{4}{3}\pi \cdot \{ -3(1-x)^2 \cdot (-1) \} + \frac{\pi}{12} \cdot 3(2-x)^2 \cdot (-1) $$

$$ = 4\pi (1-x)^2 - \frac{\pi}{4} (2-x)^2 $$

$$ = \frac{\pi}{4} \{ 16(1-x)^2 - (2-x)^2 \} $$

因数分解の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を用いてさらに変形する。

$$ V'(x) = \frac{\pi}{4} \{ 4(1-x) + (2-x) \} \{ 4(1-x) - (2-x) \} $$

$$ = \frac{\pi}{4} (6 - 5x) (2 - 3x) $$

$$ = \frac{\pi}{4} (3x - 2)(5x - 6) $$

$V'(x) = 0$ とすると、$x = \frac{2}{3}, \frac{6}{5}$ である。定義域 $0 \leqq x \leqq 1$ における $V(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{2}{3}$	$\cdots$	$1$
$V'(x)$		$+$	$0$	$-$
$V(x)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$V(x)$ は $x = \frac{2}{3}$ のとき最大となる。その最大値は、

$$ V\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}\pi \left\{ 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^3 \right\} + \frac{\pi}{12} \left\{ \left(\frac{4}{3}\right)^3 - 1 \right\} $$

$$ = \frac{4}{3}\pi \left( 1 - \frac{1}{27} \right) + \frac{\pi}{12} \left( \frac{64}{27} - 1 \right) $$

$$ = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{26}{27} + \frac{\pi}{12} \cdot \frac{37}{27} $$

$$ = \frac{104}{81}\pi + \frac{37}{324}\pi $$

通分して計算する。

$$ = \frac{416 + 37}{324}\pi $$

$$ = \frac{453}{324}\pi $$

分子と分母を $3$ で割って約分すると、$\frac{151}{108}\pi$ となる。

解法2

直円すい台の体積公式を用いて、$V(x)$ を多項式として表す方針。

上面の半径が $r_1$、底面の半径が $r_2$、高さが $h$ である直円すい台の体積 $V$ は以下の式で与えられる。

$$ V = \frac{\pi h}{3} (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) $$

直円すい台 $A$ について、上面の半径 $1-x$、底面の半径 $1$、高さ $4x$ より、

$$ V_A(x) = \frac{\pi \cdot 4x}{3} \{ (1-x)^2 + (1-x) \cdot 1 + 1^2 \} $$

$$ = \frac{4\pi x}{3} (x^2 - 3x + 3) $$

直円すい台 $B$ について、上面の半径 $\frac{1}{2}$、底面の半径 $1-\frac{x}{2}$、高さ $1-x$ より、

$$ V_B(x) = \frac{\pi (1-x)}{3} \left\{ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{2}\right) + \left(1-\frac{x}{2}\right)^2 \right\} $$

中カッコの中を整理すると、

$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{x}{4} + 1 - x + \frac{x^2}{4} = \frac{x^2}{4} - \frac{5}{4}x + \frac{7}{4} $$

となるので、

$$ V_B(x) = \frac{\pi (1-x)}{12} (x^2 - 5x + 7) $$

$A$ と $B$ の体積の和 $V(x)$ は、

$$ V(x) = \frac{4\pi x}{3} (x^2 - 3x + 3) + \frac{\pi (1-x)}{12} (x^2 - 5x + 7) $$

$$ = \frac{\pi}{12} \{ 16x(x^2 - 3x + 3) + (1-x)(x^2 - 5x + 7) \} $$

中カッコの中を展開して整理する。

$$ 16x(x^2 - 3x + 3) = 16x^3 - 48x^2 + 48x $$

$$ (1-x)(x^2 - 5x + 7) = -x^3 + 6x^2 - 12x + 7 $$

これらを足し合わせると、

$$ 16x^3 - 48x^2 + 48x - x^3 + 6x^2 - 12x + 7 = 15x^3 - 42x^2 + 36x + 7 $$

よって、

$$ V(x) = \frac{\pi}{12} (15x^3 - 42x^2 + 36x + 7) $$

$x$ について微分する。

$$ V'(x) = \frac{\pi}{12} (45x^2 - 84x + 36) $$

$$ = \frac{3\pi}{12} (15x^2 - 28x + 12) $$

$$ = \frac{\pi}{4} (3x - 2)(5x - 6) $$

$V'(x) = 0$ とすると $x = \frac{2}{3}, \frac{6}{5}$ である。これ以降の増減表の作成および最大値の計算は解法1と同様であり、最大値は $x = \frac{2}{3}$ のとき $\frac{151}{108}\pi$ となる。

解説

直円すい台の体積をどのように式で表すかがポイントとなる。解法1のように、直円すい台を「大きな円錐の一部」と捉えて全体の円錐から上部の円錐を引き算する方法は、多項式の複雑な展開を避けることができる。これにより計算ミスを防ぎやすくなり、因数分解の公式を用いて微分計算も効率的に行うことができる。一方、解法2のように直円すい台の体積公式を知っていれば、直接代入して式を整理することも可能である。どちらの方針を選んでも、正しく微分して定義域内における極大値を求める流れは同じである。