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東京大学 2005年文系第1問解説

方針・初手

与えられた定積分を $a$ と $b$ それぞれの関数と見なして最小値を考える。積分区間ごとに被積分関数に含まれる文字が $a$ と $b$ に分かれているため、2つの積分を独立して最小化することができる。被積分関数を展開し、$\int f'(x) dx = f(x) + C$ であることを利用すると計算を簡略化できる。

解法1

与えられた定積分を $I$ とおく。

$$ I = \int_{-1}^0 \{f'(x) - g'(x)\}^2 dx + \int_0^1 \{f'(x) - g'(x)\}^2 dx $$

$g(x)$ の定義より、区間ごとに $g'(x)$ を求めると、 $x < 0$ のとき $g'(x) = a$ $x > 0$ のとき $g'(x) = b$ であるから、積分 $I$ は次のように書ける。

$$ I = \int_{-1}^0 \{f'(x) - a\}^2 dx + \int_0^1 \{f'(x) - b\}^2 dx $$

第1項を $I_1$、第2項を $I_2$ とおき、それぞれ展開して計算する。

$$ I_1 = \int_{-1}^0 \{f'(x)^2 - 2af'(x) + a^2\} dx $$

$$ = \int_{-1}^0 f'(x)^2 dx - 2a \int_{-1}^0 f'(x) dx + a^2 \int_{-1}^0 dx $$

$$ = \int_{-1}^0 f'(x)^2 dx - 2a \bigl[ f(x) \bigr]_{-1}^0 + a^2 \bigl[ x \bigr]_{-1}^0 $$

$$ = \int_{-1}^0 f'(x)^2 dx - 2a \{f(0) - f(-1)\} + a^2 \{0 - (-1)\} $$

条件より $f(0) = 0$ であるから、

$$ I_1 = \int_{-1}^0 f'(x)^2 dx + 2a f(-1) + a^2 $$

$$ = \{a + f(-1)\}^2 - \{f(-1)\}^2 + \int_{-1}^0 f'(x)^2 dx $$

同様に、$I_2$ を計算する。

$$ I_2 = \int_0^1 \{f'(x)^2 - 2bf'(x) + b^2\} dx $$

$$ = \int_0^1 f'(x)^2 dx - 2b \int_0^1 f'(x) dx + b^2 \int_0^1 dx $$

$$ = \int_0^1 f'(x)^2 dx - 2b \bigl[ f(x) \bigr]_0^1 + b^2 \bigl[ x \bigr]_0^1 $$

$$ = \int_0^1 f'(x)^2 dx - 2b \{f(1) - f(0)\} + b^2 (1 - 0) $$

条件より $f(0) = 0$ であるから、

$$ I_2 = \int_0^1 f'(x)^2 dx - 2b f(1) + b^2 $$

$$ = \{b - f(1)\}^2 - \{f(1)\}^2 + \int_0^1 f'(x)^2 dx $$

ここで、$a$ と $b$ は独立に変化させることができるため、$I = I_1 + I_2$ が最小となるのは、$I_1$ と $I_2$ がそれぞれ最小となるときである。したがって、最小となる条件は $a = -f(-1)$ かつ $b = f(1)$ のときである。

このとき、$g(x)$ の定義から $g(-1)$ と $g(1)$ を求める。 $x \leqq 0$ の範囲では $g(x) = ax$ であるから、

$$ g(-1) = a \cdot (-1) = -a $$

$a = -f(-1)$ を代入して、

$$ g(-1) = -\{-f(-1)\} = f(-1) $$

$x > 0$ の範囲では $g(x) = bx$ であるから、

$$ g(1) = b \cdot 1 = b $$

$b = f(1)$ を代入して、

$$ g(1) = f(1) $$

以上より、$g(-1) = f(-1)$ および $g(1) = f(1)$ であることが示された。

解法2

$f(x)$ は $f(0) = 0$ を満たす2次関数であるから、$p, q$ を実数（$p \neq 0$）として

$$ f(x) = px^2 + qx $$

とおける。このとき、$f'(x) = 2px + q$ である。また、$f(-1) = p - q$、$f(1) = p + q$ である。

与えられた積分の第1項 $I_1$ について計算する。

$$ I_1 = \int_{-1}^0 \{f'(x) - a\}^2 dx $$

$$ = \int_{-1}^0 (2px + q - a)^2 dx $$

被積分関数を展開すると、

$$ (2px + q - a)^2 = 4p^2x^2 + 4p(q - a)x + (q - a)^2 $$

よって、

$$ I_1 = \int_{-1}^0 \{4p^2x^2 + 4p(q - a)x + (q - a)^2\} dx $$

$$ = \left[ \frac{4}{3}p^2x^3 + 2p(q - a)x^2 + (q - a)^2x \right]_{-1}^0 $$

$$ = 0 - \left\{ -\frac{4}{3}p^2 + 2p(q - a) - (q - a)^2 \right\} $$

$$ = \frac{4}{3}p^2 - 2p(q - a) + (q - a)^2 $$

これを $a$ についての2次式とみて整理し、平方完成する。

$$ I_1 = a^2 - 2qa + q^2 + 2pa - 2pq + \frac{4}{3}p^2 $$

$$ = a^2 + 2(p - q)a + q^2 - 2pq + \frac{4}{3}p^2 $$

$$ = \{a + (p - q)\}^2 - (p - q)^2 + q^2 - 2pq + \frac{4}{3}p^2 $$

$$ = \{a + (p - q)\}^2 + \frac{1}{3}p^2 $$

したがって、$I_1$ は $a = -p + q$ のとき最小となる。

同様に、第2項 $I_2$ について計算する。

$$ I_2 = \int_0^1 \{f'(x) - b\}^2 dx $$

$$ = \int_0^1 (2px + q - b)^2 dx $$

$$ = \int_0^1 \{4p^2x^2 + 4p(q - b)x + (q - b)^2\} dx $$

$$ = \left[ \frac{4}{3}p^2x^3 + 2p(q - b)x^2 + (q - b)^2x \right]_0^1 $$

$$ = \frac{4}{3}p^2 + 2p(q - b) + (q - b)^2 $$

これを $b$ についての2次式とみて整理し、平方完成する。

$$ I_2 = b^2 - 2qb + q^2 - 2pb + 2pq + \frac{4}{3}p^2 $$

$$ = b^2 - 2(p + q)b + q^2 + 2pq + \frac{4}{3}p^2 $$

$$ = \{b - (p + q)\}^2 - (p + q)^2 + q^2 + 2pq + \frac{4}{3}p^2 $$

$$ = \{b - (p + q)\}^2 + \frac{1}{3}p^2 $$

したがって、$I_2$ は $b = p + q$ のとき最小となる。

よって、全体が最小になるのは、$a = -p + q$ かつ $b = p + q$ のときである。

このとき、$g(x)$ の定義より、

$$ g(-1) = a \cdot (-1) = -a = -(-p + q) = p - q $$

$$ g(1) = b \cdot 1 = b = p + q $$

一方、$f(-1) = p - q$、$f(1) = p + q$ であるから、

$$ g(-1) = f(-1) $$

$$ g(1) = f(1) $$

が成り立つことが示された。

解説

最小化すべき関数が積分の形で与えられているが、積分変数は $x$ であり、$a$ と $b$ は定数扱いであることに注意する。したがって、積分を計算した結果は $a$ と $b$ についての2次関数になる。また、$a$ と $b$ は互いに独立に変化させることができるため、$\int_{-1}^0$ の部分（$a$ の関数）と $\int_0^1$ の部分（$b$ の関数）をそれぞれ個別に最小化すればよいことに気づくことが重要である。解法1のように、関数 $f(x)$ の具体的な式を設定せずとも、微分積分学の基本定理 $\int f'(x) dx = f(x) + C$ を用いることで、計算量を大幅に減らしつつ本質的な性質を導き出すことができる。解法2は具体的な2次関数の式に落とし込む堅実なアプローチである。